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Giocando con la Gravità

Centro di massa in un sistema binario

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In un sistema binario, come può essere il sistema Terra-Luna, due corpi, rispettivamente di massa M_T e M_L, si muovono pressappoco di moto circolare uniforme intorno ad un comune centro di massa C, mantenendosi ad una distanza d l'uno dall'altro. Siano d_T e d_L rispettivamente le distanze dal punto C della Terra e della Luna, così che d=d_T+d_L. Inoltre poniamo k=\frac{M_T}{M_L}. Per il primo Principio della Dinamica:

a_T=\frac{v_T^2}{d_T} \Rightarrow F_Y=M_T\  a_T=\frac{4\pi^2}{T^2}\ d_T\ M_T

a_L=\frac{v_L^2}{d_L} \Rightarrow F_L=M_L\  a_L=\frac{4\pi^2}{T^2}\ d_L\ M_L

Dove T è il periodo di rotazione del sistema Terra-Luna intorno al punto C. Mentre per il secondo Principio della Dinamica:

F_T=F_L \Rightarrow \frac{4\pi^2}{T^2}\ \Rightarrow = \frac{4\pi^2}{T^2}\ d_L\ M_L \Rightarrow \frac{M_T}{M_L}= \frac{d_L}{d_T} \Rightarrow \frac{M_T+M_L}{M_L}= \frac{d_L+d_T}{d_T} \Rightarrow

\Rightarrow d_T=\frac{M_L}{M_T+M_L}\ d \Rightarrow

d_T=\frac{d}{1+\frac{M_T}{M_L}}=\frac{d}{1+k}

d_L=d-d_T=d-\frac{d}{1+k}=\frac{k}{1+k}\ d

Per esempio, per il sistema Terra-Luna:

d=3,84 \times 10^8 m

k=5,98 \times 10^24 kg/7,35 \times 10^22 kg=81,36054422

d_T=4,66 \times 10^6 m

d_L=3,79 \times 10^8 m

Dal momento che R_T=6,37 \times 10^6 m il punto C si trova al di sotto della superficie della Terra.

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