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I Punti di Lagrange L1, L2 e L3

I Punti di Lagrange sono i punti appartenenti al piano dell'orbita (della Luna per esempio, in moto rispetto alla Terra), che si muovono in modo che la configurazione spaziale Terra-Luna-Punto non cambi.

Nel sistema Terra-Luna i due corpi ruotano intorno ad un comune centro di massa $C$ , con un moto che, per semplificare, supponiamo circolare uniforme. Le rispettive disranze della Terra e della Luna dal punto $C$ sono:

$d_T=\frac{1}{1+k}\ d$

$d_L=\frac{k}{1+k}\ d$

Dove $k$ è il rapporto $M T / M L$ e $d$ la distanza tra i due centri di massa. L'accelerazione centripeda che agisce sulla Terra nel suo moto circolare uniforme rispetto al punto $C$ è pari alla forza gravitazionale dovuta dall'azione della Luna: $a_T=\frac{v^2}{d_T}=\frac{4\ \pi^2}{T^2}\ d_T=G\ \frac{M_L}{d^2} \Rightarrow \omega=\frac{4\ \pi^2}{T^2}=G\ M_L\ \frac{1+k}{d^3}$ .

Un corpo di massa $m\ll\ M_T$ e $M L$ , posto sulla retta congiungente Terra-Luna, è soggetto alle attrazioni gravitazionali di entrambi i corpi; scelto il sistema di riferimento in modo che l'origine coincida con la Terra e l'asse $x$ con la retta Terra-Luna si ha:

$F_T=G \frac{m\ M_T}{x^2}$

$F_L=G \frac{m\ M_L}{(d-x)^2}$

Supponendo inoltre che tale corpo ruoti intorno al punto $C$ con moto circolare uniforme, con la stessa velocità angolare $ω$ della Terra, in modo da rimanere sull'asse $x$ , su di esso dovrà agire una forza centripeda:

$F_C=m a_c=m \frac{v^2}{r}= m \frac{4\ \pi^2 r^2}{T^2}\ \frac{1}{r}=m \frac{4\ \pi^2}{T^2}(x-d_T)=m \omega \left(x-\frac{d}{1+k}\right)=$

$=G m \frac{M_L}{d^3}(1+k)\left(x-\frac{d}{1+k}\right)=G m M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right)$ .

Sommando le forze che agiscono sulla massa $m$ otteniamo che l'accelerazione che essa subisce è:

$a = \begin{cases} G \frac{M_T}{x^2} + G \frac{M_L}{(d-x)^2} + G M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right), \mbox{se }\, x < 0 \\ -G \frac{M_T}{x^2} + G \frac{M_L}{(d-x)^2} + G M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right), \mbox{se }\, 0 < x < d \\ -G \frac{M_T}{x^2} - G \frac{M_L}{(d-x)^2} + G M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right), \mbox{se }\, x > d \end{cases}$

Cerchiamo i punti in cui tale accelerazione risulta nulla. Con una opportuna scelta delle unità di misura è possibile scrivere le seguenti equazioni:

$\begin{cases} \frac{k}{x^2} + \frac{1}{(1-x)^2} + (1+k)x-1 = 0 & \mbox{se}\, x < 0 \\ - \frac{k}{x^2} + \frac{1}{(1-x)^2} + (1+k)x-1 = 0 & \mbox{se}\, 0 < x < d \\ - \frac{k}{x^2} - \frac{1}{(1-x)^2} + (1+k)x-1 = 0 & \mbox{se},\ x > d \end{cases}$

Queste tre equazioni ammettono ciascuna una soluzione nel rispettivo insieme di definizione. Sono questi i punti di Lagrange $L_1\, \left( x < 0 \right)$ , $L_2\, \left( 0 < x < d \right)$ e $L_3\, \left( x > d \right)$ .

Nel caso del sistema Terra-Luna si ha

$M_T=5,98 \times 10^24 kg$

$M_L=7,35 \times 10^22 kg$

quindi $k = 81,30$ . Si può applicare un qualunque metodo numerico per la ricerca degli zeri alle suddette equazioni nel rispettivo intervallo di definizione, ottenendo:

$L_1=0,849 d = 3,23 \times 10^5 km$

$L_2=1,168 d = 4,44 \times 10^5 km$

$L_3=0,993 d = 3,77 \times 10^5 km$ sul semiasse negativo.

I Punti di Lagrange $L 1$ e $L 2$ si trovano quindi in prossimità della Luna, mentre $L 3$ si trova ad una distanza pari all'incirca alla distanza Terra-Luna sul lato opposto a quest'ultima.

Estratto da "http://it.giocandoconlagravita.wikia.com/wiki/I_Punti_di_Lagrange_L1,_L2_e_L3"

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