FANDOM


I Punti di Lagrange sono i punti appartenenti al piano dell'orbita (della Luna per esempio, in moto rispetto alla Terra), che si muovono in modo che la configurazione spaziale Terra-Luna-Punto non cambi.

Lagrangiani 1 2 e 3

Ricerca dei punti di Lagrange L1 L2 e L3

Nel sistema Terra-Luna i due corpi ruotano intorno ad un comune centro di massa $ C $, con un moto che, per semplificare, supponiamo circolare uniforme. Le rispettive distanze della Terra e della Luna dal punto $ C $ sono:

$ d_T=\frac{1}{1+k}\ d $

$ d_L=\frac{k}{1+k}\ d $

Dove $ k $ è il rapporto $ M_T/M_L $ e $ d $ la distanza tra i due centri di massa. L'accelerazione centripeta che agisce sulla Terra nel suo moto circolare uniforme rispetto al punto $ C $ è pari alla forza gravitazionale dovuta dall'azione della Luna: $ a_T=\frac{v^2}{d_T}=\frac{4\ \pi^2}{T^2}\ d_T=G\ \frac{M_L}{d^2} \Rightarrow \omega=\frac{4\ \pi^2}{T^2}=G\ M_L\ \frac{1+k}{d^3} $.

Un corpo di massa $ m\ll\ M_T $ e $ M_L $, posto sulla retta congiungente Terra-Luna, è soggetto alle attrazioni gravitazionali di entrambi i corpi; scelto il sistema di riferimento in modo che l'origine coincida con la Terra e l'asse $ x $ con la retta Terra-Luna si ha:

Forza di attrazione della Terra: $ F_T=G \frac{m\ M_T}{x^2} $, sull'asse Terra-corpo e verso diretto in direzione della Terra, quindi con il segno positivo per $ x < 0 $ e negativo per $ x > 0 $.

Forza di attrazione della Luna: $ F_L=G \frac{m\ M_L}{(d-x)^2} $, sull'asse corpo-Luna e verso diretto in direzione della Luna, quindi con il segno positivo per $ x < d $ e negativo per $ x > d $.

Tale corpo inoltre ruota intorno al punto $ C $ con moto circolare uniforme, con la stessa velocità angolare $ \omega $ della Terra, in modo da rimanere sull'asse $ x $. Nel sistema di riferimento non inerziale solidale con il sistema Terra-Luna sul corpo agisce una forza centrifuga:

$ F_C=m a_c=m \frac{v^2}{r}= m \frac{4\ \pi^2 r^2}{T^2}\ \frac{1}{r}=m \frac{4\ \pi^2}{T^2}(x-d_T)=m \omega \left(x-\frac{d}{1+k}\right)= $

$ =G m \frac{M_L}{d^3}(1+k)\left(x-\frac{d}{1+k}\right)=G m M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right) $.

Sommando le forze che agiscono sulla massa $ m $ otteniamo che l'accelerazione che essa subisce è:


$ a = \begin{cases} G \frac{M_T}{x^2} + G \frac{M_L}{(d-x)^2} + G M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right), \mbox{se }\, x < 0 \\ -G \frac{M_T}{x^2} + G \frac{M_L}{(d-x)^2} + G M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right), \mbox{se }\, 0 < x < d \\ -G \frac{M_T}{x^2} - G \frac{M_L}{(d-x)^2} + G M_L \left(\frac{(1+k)x}{d^3} -\frac{1}{d^2}\right), \mbox{se }\, x > d \end{cases} $

Cerchiamo i punti in cui tale accelerazione risulta nulla. Con una opportuna scelta delle unità di misura è possibile scrivere le seguenti equazioni:

Lagrangiani 1 2 e 3 grafico

Grafico della risultante delle forze

$ \begin{cases} \frac{k}{x^2} + \frac{1}{(1-x)^2} + (1+k)x-1 = 0 & \mbox{se}\, x < 0 \\ - \frac{k}{x^2} + \frac{1}{(1-x)^2} + (1+k)x-1 = 0 & \mbox{se}\, 0 < x < d \\ - \frac{k}{x^2} - \frac{1}{(1-x)^2} + (1+k)x-1 = 0 & \mbox{se},\ x > d \end{cases} $

Queste tre equazioni ammettono ciascuna una soluzione nel rispettivo insieme di definizione. Sono questi i punti di Lagrange $ L_1\, \left( x < 0 \right) $, $ L_2\, \left( 0 < x < d \right) $ e $ L_3\, \left( x > d \right) $.

Nel caso del sistema Terra-Luna si ha

$ M_T=5,98 \times 10^{24} kg $

$ M_L=7,35 \times 10^{22} kg $

quindi $ k=81,30 $. Si può applicare un qualunque metodo numerico per la ricerca degli zeri alle suddette equazioni nel rispettivo intervallo di definizione, ottenendo:

$ L_1=0,849 d = 3,23 \times 10^5 km $

$ L_2=1,168 d = 4,44 \times 10^5 km $

$ L_3=0,993 d = 3,77 \times 10^5 km $ sul semiasse negativo.

I Punti di Lagrange $ L_1 $ e $ L_2 $ si trovano quindi in prossimità della Luna, mentre $ L_3 $ si trova ad una distanza pari all'incirca alla distanza Terra-Luna sul lato opposto a quest'ultima.