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Come noto un oggetto posto ad una distanza d da un corpo di massa M per allontanarsene dovrà assumere una velocità almeno pari alla velocità di fuga. Tale quantità vale:

v_f = \sqrt{2\; G\; \frac{M}{d}}

Buco Nero.png

Il buco nero

La luce si diffonde ad una velocità finita, pari a c = 3 \times 10^8\; m/s. Ci chiediamo sotto quali condizioni la velocità di fuga possa essere pari o superiore a c. La soluzione si ottiene risolvendo la disequazione:

v_f \ge c \Leftrightarrow 2\; G\; \frac{M}{d} \ge c^2 \Leftrightarrow d \le 2\; G\; \frac{M}{c^2}

Posto d_0=2\; G\; \frac{M}{c^2}, la condizione sarà verificata per d \le d_0.

La superficie sferica di raggio d_0 è detta orizzonte degli eventi, mentre lo spazio incluso nell'orizzonte degli eventi è detto buco nero.

Buco-nero.jpg

La lente gravitazionale prodotta da un buco nero

I fotoni, le particelle che compongono la luce, benché non dotati di massa sono soggetti alla forza di gravità, pertanto la luce di una sorgente luminosa posta al di là dell'orizzonte degli eventi non può allontanarsi dalla massa centrale.

Quest'ultima quindi non potrà brillare di luce propria né di luce riflessa. La caratteristica di un tale oggetto è di ingoiare qualunque cosa, luce compresa, apparendo quindi completamente scuro, da cui il nome di buco nero. Un buco nero non è pertanto visibile, ma si può individuare dalle reazioni che provoca su eventuali corpi celesti posti nelle sue prossimità e dalla sua capacità di deviare i raggi di luce.

All'interno del buco nero la materia ha una densità media


\rho=\frac{M}{V}
=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi d_0^3}
=\frac{3}{4} \frac{M}{ \pi d_0^3}
=\frac{3}{4} \frac{M}{ \pi \left (2\;G\;\frac{M}{c^2}\right )^3}
=\frac{3}{4} \frac{M}{ \pi \left (  8 G^3 \frac{M^3}{c^6} \right )}
=\frac{3}{32} \frac{c^6}{ \pi G^3 } \frac{1}{M^2}

di conseguenza la sua massa si può scrivere come


M=\sqrt{\frac{3}{32} \frac{c^6}{ \pi G^3 } \frac{1}{\rho} }
=\frac{c^3}{4}\sqrt{\frac{3}{ 2\pi G^3 } \frac{1}{\rho} }

Se la quantità di materia è sufficiente anche una densità bassa può dare luogo ad un buco nero, per esempio è possibile che esista un buco nero con una densità pari a quella dell'aria \rho=1,225 \frac{kg}{m^3}.

Affinché ciò si verifichi il buco nero dovrebbe avere una massa 
M=\frac{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^3}{4}\sqrt{\frac{3}{ 2\pi (6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2})^3} \frac{1}{1,225 \frac{kg}{m^3}} }
=7,74 \times10^{39} kg

e un diametro


d_0=2 \cdot 6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2} \frac{7,74 \times 10^{39} kg}{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^2}= 1,147 \times 10^{13} m

cioè circa quattro miliardi di masse solari con un raggio sedicimila volte più grande.

Come caso limite possiamo prendere in considerazione una densità dell'ordine di quella che si può trovare nei nuclei atomici cioè \rho=2,3 \times 10^{17} \frac{kg}{m^3}. Abbiamo quindi un valore per la massa pari a


M=\frac{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^3}{4}\sqrt{\frac{3}{ 2\pi (6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2})^3} \frac{1}{2,3 \times 10^{17} \frac{kg}{m^3}} }
=1,79 \times10^{31} kg

e un diametro


d_0=2 \cdot 6,67 \times 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2} \frac{1,79 \times10^{31} kg}{(3 \times 10^8 \frac{m}{s})^2}= 26462 m
.

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