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Un cavo vincolato ai suoi estremi a due punti fissi e soggetto alla sola forza peso assume una configurazione caratteristica simile ad una parabola; tale curva viene detta catenaria.

Catenaria.jpg





La curva “assomiglia” ad una parabola in quanto ha nella sua estremità inferiore un vertice, è concava verso l'alto e simmetrica rispetto ad un asse passante per il vertice.
Descrizione catenaria.png

Descrizione del problema della catenaria

Consideriamo un sistema di riferimento in cui l'asse delle ordinate coincide con l'asse di simmetria, orientato nel verso della concavità. A partire dal vertice muoviamoci lungo la curva percorrendo uno dei suoi rami, per esempio quello di ascissa positiva, per un tratto di lunghezza s fino al punto P. Le coordinate del punto P dipendono dal tratto s percorso:


\left\{
\begin{align}
& x = x(s) \\
& y = y(s)
\end{align}\right.

Affinché sussista l'equilibrio statico la risultante delle forze che agiscono su un qualunque tratto \Delta s del cavo è nulla. Su \Delta s agisce una forza peso che dipende dalla densità lineare \lambda del cavo, di modulo \Delta F = \lambda\;g\;\Delta s, diretta verso il basso. Gli estremi di \Delta s sono invece soggetti alle tensioni \vec {T}(s) e \vec {T}(s + \Delta s) la cui risultante è \Delta \vec T = \vec T (s + \Delta s) - \vec T (s). Per la staticità della configurazione la risultante delle forze a cui è soggetto il segmento \Delta s è nulla, quindi \Delta \vec T = \lambda\;h\;\Delta s\;\hat j, dove \hat j è il versore dell'asse delle ordinate.

Tensioni.png

Bilancio delle forze agenti su un tratto di corda

Passando alle componenti


\left\{ 
\begin{align}
& \Delta T_x = 0 \\ 
& \Delta T_y = \lambda\;g\;\Delta s
\end{align}\right.

Poiché queste uguaglianze valgono anche per un tratto di curva infinitesimo ds abbiamo

\left\{ 
\begin{align}
& d T_x = 0\\ 
& d T_y = \lambda\;g\;d s
\end{align}\right. \Rightarrow {
\left\{ 
\begin{align}
& \int_{T_x (0)}^{T_x (s)} d \tau = c\\ 
& \int_{T_y (0)}^{T_y (s)} d \tau = \int_{0}^{s} g \lambda d \sigma
\end{align}\right. \Rightarrow 
\left\{ 
\begin{align}
& T_x (s) - T_x (0) = c\\ 
& T_y (s) - T_y (0) = g\;\lambda\;s
\end{align}\right.  }

Quindi T_x (s) = T_x (0) + c e dal momento che T_x (0) = T_x (0) + c allora c = 0, cioè la componente orizzontale della tensione è costante su tutto il ramo della corda di ascissa positiva, ponendo perciò T_0 = T_x (0), avremo T_x (s) = T_0 lungo tutta la corda. D'altra parte T_y, la componente verticale della tensione, è dovuta al peso del cavo di lunghezza s compreso tra il vertice e il punto P, quindi si ha T_y(0) = 0. Abbiamo infine

\left\{ 
\begin{align}
& T_x = T_0\\ 
& T_y = g\;\lambda\;s
\end{align}\right.

che può essere scritta come

\left\{ 
\begin{align}
& T \frac{dx}{ds} = T_0\\ 
& T \frac{dy}{ds} = g\;\lambda\;s
\end{align}\right.

avendo considerato le componenti \frac{dx}{ds} e \frac{dy}{ds} del versore della tangente alla curva e T il modulo della tensione \vec T.

Dalle due equazioni otteniamo

T \frac{dy}{ds} \frac{1}{T} \frac{dx}{ds} = \frac{g \lambda}{T_0} \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{g \lambda}{T_0} s e ponendo a=\frac{T_0}{g \lambda} \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{s}{a}.

Inoltre poiché

(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 \Rightarrow 
ds = \sqrt{1 + \left ( \frac{dy}{dx} \right )^2 } dx \Rightarrow
ds = \sqrt{1 + \left ( \frac{s}{a} \right )^2 } dx \Rightarrow

\Rightarrow dx = \frac{ds}{\sqrt{1 + \left ( \frac{s}{a} \right )^2 } }\Rightarrow
dx = a \frac {d \left ( \frac{s}{a} \right )}{\sqrt{1 + \left ( \frac{s}{a} \right )^2 }}

integrando

\int_{0}{x} d \xi = a \int_{0}{\frac{a}{s}} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} \Rightarrow
x=a \left [ log( t + \sqrt{1 + t^2} ) \right ]_0^\frac{s}{a} \Rightarrow

\Rightarrow
x = a\;log \left ( \frac{s}{a} + \sqrt{1 + \left ( \frac{s}{a}\right )^2} ) \right ) \Rightarrow
\frac{x}{a}= log \left ( \frac{s}{a} + \sqrt{1 + \left ( \frac{s}{a}\right )^2} ) \right )


Quest'ultima relazione può essere invertita scrivendo s in funzione di x:

e^{ \frac{x}{a} } = \frac{s}{a} + \sqrt{1+ \left ( {\frac{s}{a}} \right )^2} \Rightarrow
e^{2 \frac{x}{a} } - 2\; \frac{s}{a}\; e^{ \frac{x}{a} } + \left ( {\frac{s}{a}} \right )^2 = 1 + \left ( {\frac{s}{a}} \right )^2 
 \Rightarrow

\Rightarrow
e^{\frac{x}{a} } - 1 = 2\;{\frac{s}{a}}\; e^{\frac{x}{a} }
\Rightarrow
2\;{\frac{s}{a}} = e^{\frac{x}{a} } - e^{- {\frac{x}{a}} }
\Rightarrow
s = a\; \frac{{e^{\frac{x}{a} } - e^{-\frac{x}{a}} }}{2}

Catenaria.png

Grafico della catenaria

Cioè s = a\;\sinh \left ( \frac{x}{a} \right ).

Quindi \frac{dy}{dx} =  \frac{s}{a} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \sinh \left ( \frac{x}{a} \right ) \Rightarrow y = a\;\cosh \left ( \frac{x}{a} \right ) + c dove c si può scegliere liberamente traslando in maniera opportuna il sistema di coordinate. Imponendo y(0)=a si ha c=0 e pertanto y = a\;\cosh \left ( \frac{x}{a} \right ). Diverso è il caso di un cavo soggetto al un carico uniforme p e per il quale il carico dovuto al proprio peso è trascurabile. Ciò si verifica nei classici ponti sospesi, in cui il cavo funge da struttura portante. La forza verticale che agisce su ogni tratto \Delta s è in questo caso \Delta \vec F = p\;\Delta x\;\hat jper cui possiamo riscrivere le equazioni della tensione in questo modo


\left\{ 
\begin{align}
& \Delta T_x = 0 \\ 
& \Delta T_y = p\; \Delta x
\end{align}\right.
\Rightarrow
\left\{ 
\begin{align}
& d T_x = 0 \\ 
& d T_y = p\; d x
\end{align}\right.
\Rightarrow
\left\{ 
\begin{align}
& T_x = T_0 \\ 
& T_y = p\; x
\end{align}\right.
\Rightarrow
\left\{ 
\begin{align}
& T \frac{dx}{ds} = T_0 \\ 
& T \frac{dy}{ds} = p\; x
\end{align}\right.
\Rightarrow
\frac{dy}{dx} = \frac{p}{T_0}\; x

da cui y = \frac{p}{2\;T_0}\;x^2 + c.

Scegliendo opportunamente il sistema di riferimento in modo che y(0)=0 si ha c=0 e quindi y = \frac{p}{2\;T_0}\;x^2 che si riconosce essere l'equazione della parabola.
Ponte sospeso.png

Caso del ponte sospeso

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