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Lanciamo un corpo di massa m dalla superficie della Terra ad una velocità v_0. La sua energia totale è data dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale:

E_{TOT} = \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{m M_T}{R_T}

Quando il corpo si allontana dalla superficie della Terra la sua energia potenziale aumenta mentre l'energia cinetica diminuisce in modo che l'energia totale rimanga costante.

Sia r la distanza dal centro della Terra a cui si trova il corpo:

E_{TOT} = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{m M_T}{r} = \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{m M_T}{R_T} \Rightarrow

\Rightarrow G \frac{M_T}{r} = \frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 + G \frac{M_T}{R_T} \Rightarrow

\Rightarrow G \frac{M_T}{r} = \frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 + G \frac{M_T}{R_T} \Rightarrow

\Rightarrow r = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T \left(v_0^2 - v^2 \right)}

La velocità sarà nulla ad una distanza:

\Rightarrow r_0 = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T v_0^2 }

escludendo il caso in cui 2 G M_T - R_T v_0^2, cioè v_0=\sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}}.

Chiamiamo v_f=\sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} "velocità di fuga", un valore dipendente solo dalle caratteristiche del pianeta a cui si riferisce, si ha quindi che per v_0<v_f il corpo lanciato si fermerà ad una distanza r_0 del centro della terra, mentre per v_0=v_f non interromperà mai il suo moto.

Inoltre, dalla condizione r \ge R_T si ha che:


\frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T v_0^2 } \ge R_T

per cui

 
\left\{ 
\begin{matrix}
2 G M_T \ge 2 G M_T - R_T v_0^2 \land v_0 < v_f \\
2 G M_T \le 2 G M_T - R_T v_0^2 \land v_0 > v_f 
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{ 
\begin{matrix}
v_0^2 \ge 0 \land v_0 < v_f \\
v_0^2 \le 0  \land v_0 > v_f 
\end{matrix}\right.
\Rightarrow v_0 \ge 0 \land v_0 < v_f

Perciò quando v_0 < v_f il corpo si fermerà dopo aver percorso una distanza:

r_0 = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T v_0^2 }

invertendo poi il moto e cadendo sulla Terra, mentre per v_0 \ge v_f si perderà nello spazio.

La velocità di fuga dalla superficie della Terra è:


v_f = \sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} = \sqrt{2\; 6,67\times10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2} \frac{5,98\times10^{24} kg}{6,37\times10^6 m}} = 11190,74 \frac{m}{s}\approx 11\frac{km}{s}
.

Mentre per sfuggire alla gravità della Luna basta una velocità iniziale:


v_f = \sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} = \sqrt{2\; 6,67\times10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2} \frac{7,35\times10^{22} kg}{1,738\times10^6 m}} = 2375,18 \frac{m}{s}\approx 2,38\frac{km}{s}
.

Di seguito le velocità di fuga degli altri pianeti del Sistema Solare

Pianeta Massa (kg) Raggio (m) Velocità di fuga (km/s)
Mercurio 3,30 x 1023 2,44 x 106 4,25
Venere 4,87 x 1024 6,05 x 106 10,36
Marte 6,42 x 1023 3,40 x 106 5,02
Giove 1,90 x 1027 7,15 x 107 59,52
Saturno 5,68 x 1026 6,03 x 107 35,47
Urano 8,68 x 1025 2,56 x 107 21,29
Nettuno 1,02 x 1026 2,48 x 107 23,49

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