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Lanciamo un corpo di massa $ m $ dalla superficie della Terra ad una velocità $ v_0 $. La sua energia totale è data dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale:

$ E_{TOT} = \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{m M_T}{R_T} $

Quando il corpo si allontana dalla superficie della Terra la sua energia potenziale aumenta mentre l'energia cinetica diminuisce in modo che l'energia totale rimanga costante.

Sia $ r $ la distanza dal centro della Terra a cui si trova il corpo:

$ E_{TOT} = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{m M_T}{r} = \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{m M_T}{R_T} \Rightarrow $

$ \Rightarrow G \frac{M_T}{r} = \frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 + G \frac{M_T}{R_T} \Rightarrow $

$ \Rightarrow G \frac{M_T}{r} = \frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 + G \frac{M_T}{R_T} \Rightarrow $

$ \Rightarrow r = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T \left(v_0^2 - v^2 \right)} $

La velocità sarà nulla ad una distanza:

$ \Rightarrow r_0 = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T v_0^2 } $

escludendo il caso in cui $ 2 G M_T - R_T v_0^2 $, cioè $ v_0=\sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} $.

Chiamiamo $ v_f=\sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} $ "velocità di fuga", un valore dipendente solo dalle caratteristiche del pianeta a cui si riferisce, si ha quindi che per $ v_0<v_f $ il corpo lanciato si fermerà ad una distanza $ r_0 $ del centro della terra, mentre per $ v_0=v_f $ non interromperà mai il suo moto.

Inoltre, dalla condizione $ r \ge R_T $ si ha che:

$ \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T v_0^2 } \ge R_T $

per cui

$ \left\{ \begin{matrix} 2 G M_T \ge 2 G M_T - R_T v_0^2 \land v_0 < v_f \\ 2 G M_T \le 2 G M_T - R_T v_0^2 \land v_0 > v_f \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} v_0^2 \ge 0 \land v_0 < v_f \\ v_0^2 \le 0 \land v_0 > v_f \end{matrix}\right. \Rightarrow v_0 \ge 0 \land v_0 < v_f $

Perciò quando $ v_0 < v_f $ il corpo si fermerà dopo aver percorso una distanza:

$ r_0 = \frac{2 G M_T R_T}{2 G M_T - R_T v_0^2 } $

invertendo poi il moto e cadendo sulla Terra, mentre per $ v_0 \ge v_f $ si perderà nello spazio.

La velocità di fuga dalla superficie della Terra è:

$ v_f = \sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} = \sqrt{2\; 6,67\times10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2} \frac{5,98\times10^{24} kg}{6,37\times10^6 m}} = 11190,74 \frac{m}{s}\approx 11\frac{km}{s} $.

Mentre per sfuggire alla gravità della Luna basta una velocità iniziale:

$ v_f = \sqrt{2 G \frac{M_T}{R_T}} = \sqrt{2\; 6,67\times10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2} \frac{7,35\times10^{22} kg}{1,738\times10^6 m}} = 2375,18 \frac{m}{s}\approx 2,38\frac{km}{s} $.

Di seguito le velocità di fuga degli altri pianeti del Sistema Solare

Pianeta Massa (kg) Raggio (m) Velocità di fuga (km/s)
Mercurio 3,30 x 1023 2,44 x 106 4,25
Venere 4,87 x 1024 6,05 x 106 10,36
Marte 6,42 x 1023 3,40 x 106 5,02
Giove 1,90 x 1027 7,15 x 107 59,52
Saturno 5,68 x 1026 6,03 x 107 35,47
Urano 8,68 x 1025 2,56 x 107 21,29
Nettuno 1,02 x 1026 2,48 x 107 23,49