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Due corpi di massa rispettivamente m e M con m molto più piccolo di M, si trovano inizialmente ad un distanza r_0 l'uno dall'altro. Tra di loro agisce una forza: F=-G \frac{mM}{r^2}

Per la Seconda Legge di Newton si ha inoltre: F=m \ddot r


Supponiamo che inizialmente i due corpi non siano in moto l'uno rispetto all'altro o che si muovano l'uno rispetto all'altro lungo la loro congiungente e sia \dot r_0.

Il moto avviene quindi sulla retta congiungente le due masse. Studiamo l'equazione differenziale:

\ddot r = -G \frac{M}{r^2} \Rightarrow 2 \dot r \ddot r = -2 G M \frac{\dot r}{r^2} \Rightarrow \frac{d}{dt} \left( \dot r^2 \right) = -2 G M \frac{\dot r}{r^2} \Rightarrow

\Rightarrow \dot r^2 - \dot r_0^2 = -2 GM \int_{r_0}^{r} \frac{dx}{x^2}
\Rightarrow
\dot r^2 - \dot r_0^2 = -2 G M \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r_0}^r
\Rightarrow \Rightarrow \dot r^2 - \dot r_0^2 = -2 G M \left( -\frac{1}{r} + \frac{1}{r_0} \right) \Rightarrow

\Rightarrow
\dot r^2 - \dot r_0^2 = 2 G M \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} \right)
\Rightarrow
\dot r^2 = 2 GM \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} + \frac{\dot r_0^2}{ 2 G M } \right)

Poniamo:


\frac{1}{r_m} = \frac{1}{r_0} - \frac{\dot r_0^2}{ 2 G M }

possiamo quindi scrivere:


\dot r^2 = 2 GM \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_m} \right)


L'equazione ha significato per \frac{1}{r} - \frac{1}{r_m} > 0 e quindi per \frac{1}{r} > \frac{1}{r_m}.


  •  r_m < 0 \Rightarrow r > r_m \Rightarrow r > 0: il moto è limitato in quest'intervallo, ciò vuol dire che in questo caso il corpo si muoverà al più fino ad una distanza r_m per poi ricadere.

 \frac{1}{r_m} > 0 \Rightarrow
\frac{1}{r_0} - \frac{\dot r_0^2}{2GM} > 0 \Rightarrow
\frac{1}{r_0} > \frac{\dot r_0^2}{2GM} \Rightarrow
\dot r_0^2 < \frac{2GM}{r_0}


  •  r_m > 0 \Rightarrow r < r_m \Rightarrow 0 < r < r_m : il moto non è limitato.

 \frac{1}{r_m} < 0 \Rightarrow
\frac{1}{r_0} - \frac{\dot r_0^2}{2GM} < 0 \Rightarrow
\frac{1}{r_0} < \frac{\dot r_0^2}{2GM} \Rightarrow
\dot r_0^2 > \frac{2GM}{r_0}

Poniamo:

v_f = \sqrt{\frac{ 2 G M }{r_0}}

tale quantità è detta velocità di fuga; Possiamo concludere che:

  • per \dot r_0 < v_f il moto è limitato e può compiersi al più fino ad una distanza  r_m
  • per \dot r_0 > v_f il moto non è limitato.

L'equazione oraria del moto può essere ottenuta integrando l'equazione differenziale:


\dot r = \pm \sqrt{ 2\, G M } \sqrt{\frac{1}{r} - \frac{1}{r_m}}  \Rightarrow
\frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r} - \frac{1}{r_m}}} = \pm \sqrt{ 2\, G M } dt \Rightarrow
dt = \pm \frac{1}{\sqrt{ 2\, G M }}\, \frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r} - \frac{1}{r_m}}}




t=\pm \frac{1}{\sqrt{ 2\, G M }}\, \int_{r_0}^{r}\frac{ d \rho }{\sqrt{\frac{1}{\rho}-\frac{1}{r_m}}}
= \pm \frac{ r_m^{3/2} }{\sqrt{ 2\, G M }}\, \int_{r_0}^{r}\sqrt{\frac{\rho/r_m}{1-\rho/r_m}}\, d\left(\rho/r_m\right)


Ponendo \rho=r_m\, \xi \Rightarrow d \rho =r_m\, d \xi otteniamo, con x_0=r_0/r_m e x=r/r_m :

t=\pm \frac{r_m^{3/2}}{\sqrt{ 2 G M}}\, \int_{x_0}^{x}\sqrt{\frac{\xi}{1-\xi}}\, d \xi


Ponendo ancora \xi=\sin^2 \chi \Rightarrow d \xi =2\, sin\, \chi\; \cos\, \chi\; d \chi si ha:

z_0=\arcsin \sqrt{x_0}=\arcsin \sqrt{r_0/r_m}

z=\arcsin \sqrt{x}=\arcsin \sqrt{r/r_m}

t=\pm \frac{r_m^{3/2}}{\sqrt{ 2 G M }}\, \int_{z_0}^{z}\sqrt{\frac{\sin^2 \chi}{1- \sin^2 \chi}}\, 2\, sin\, \chi\; \cos\, \chi\; d \chi = = \pm \frac{r_m^{3/2}}{\sqrt{ 2 G M }}\, \int_{z_0}^{z} \frac{\sin\, \chi}{\cos\, \chi}\, 2\, sin\, \chi\; \cos\, \chi\; d \chi =


=\pm \frac{2\, r_m^{3/2}}{\sqrt{ 2 G M }}\, \int_{z_0}^{z} \sin^2 \chi\; d \chi
=\pm \frac{2\, r_m^{3/2}}{\sqrt{ 2 G M }}\, \left[ \chi-\sin\, \chi\; \sqrt{1-\sin^2 \chi} \right]_{z_0}^{z} \Rightarrow


\Rightarrow t=\pm \frac{2\, r_m^{3/2}}{\sqrt{ 2 G M }}\, \left( \arcsin \sqrt{\frac{r}{r_m}}-\sqrt{\frac{r}{r_m}}\; \sqrt{1-\frac{r}{r_m}}-
\arcsin \sqrt{\frac{r_0}{r_m}}+ \sqrt{\frac{r_0}{r_m}}\; \sqrt{1-\frac{r_0}{r_m}}
\right)


Si voglia calcolare il tempo che impiega un oggetto che si trova dalla Terra ad una distanza pari a alla distanza che la separa dalla Luna, ed è inizialmente non è in moto rispetto ad essa. Quindi:

M = M_T = 5,98\,\times\,10^24\,kg

t_0 = 0

r_0 = 380000\,km = 3,8 \,\times\, 10^8\,m

r=R_T=6,37\,\times\,10^6\,m

\dot r_0=0

Per r_m=r_0 > 0 otteniamo quindi:


t=-\, \frac{2\, r_0^{3/2}}{\sqrt{ 2 G M_T }}\, \left( \arcsin \sqrt{\frac{R_T}{r_0}}-\sqrt{\frac{R_T}{r_0}}\; \sqrt{1-\frac{R_T}{r_0}} + \arcsin(1) \right)=

\textstyle
=-\, \frac{2\, (3,8 \,\times\, 10^8\,m)^{3/2}}{\sqrt{ 2 (6,67 \,\times\, 10^{-11}\,Nm^2/kg^2) (5,98\,\times\,10^24\,kg) }}\, \left( \arcsin \sqrt{\frac{6,37\,\times\,10^6\,m}{3,8 \,\times\, 10^8\,m}}-\sqrt{\frac{6,37\,\times\,10^6\,m}{3,8 \,\times\, 10^8\,m}}\; \sqrt{1-\frac{6,37\,\times\,10^6\,m}{3,8 \,\times\, 10^8\,m}}+\frac{\pi}{2}
\right)=


= 824705,04\, s = 9\, g \; 13\, h\; 5\, min\; 5\, s

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