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Introduzione Modifica

L’esperienza comune ci permette di prendere atto che tutti i fenomeni che conosciamo agiscono con velocità finita. Non conosciamo nessun modo, per esempio, per spostare un oggetto da una posizione ad un’altra senza impiegare un tempo finito, anche se piccolo. Sembra fare eccezione la luce: accendendo una candela illumino “istantaneamente” tutta la stanza in cui mi trovo e non solo un po’ alla volta. La luce sembra propagarsi in maniera immediata oppure ha una velocità talmente grande da non essere rilevabile. Questa è la conclusione a cui arrivò Galileo Galilei a seguito dell’esperimento da lui descritto ne i Dialogi su i Due Massimi Sistemi, dove due lanterne venivano disposte su delle colline poco distanti: quando l’osservatore riceveva il segnale dalla prima lanterna doveva scoprire la seconda in modo da rispondere al segnale luminoso. Poiché il tempo impiegato dalla luce per percorrere il tratto tra le due lanterne era di gran lunga minore della velocità di reazione dell’osservatore, l’esperimento non era in grado di dare una risposta al problema.

Quando però le distanze percorse dalla luce diventano abbastanza grandi il tempo impiegato diventa apprezzabile e si giunge alla conclusione che anche la luce si propaga con velocità finita. La prima stima di tale velocità fu compiuta nel 1676 da Olaf Romer, ottenuta misurando i ritardi delle eclissi dei satelliti di Giove.

La velocità della luce c è quindi finita ed è circa 300.000.000 m/s, una quantità enorme se rapportata alle velocità di cui possiamo avere esperienza nella vita comune, mentre le macchine di Formula Uno possono andare a 300 Km/h, gli aerei supersonici spingersi a 2.000 km/h, e i razzi interplanetari a 40.000 km/h, ciò è veramente poco rispetto ad un miliardo di chilometri, che è la distanza che percorre la luce in un ora. Solo le particelle subatomiche sono in grado di muoversi con velocità paragonabili, per esempio l’elettrone nel suo moto attorno al nucleo atomico si muove con velocità quasi pari a quella della luce.

Anche se non siamo in grado di creare uno dispositivo capace di viaggiare alla velocità della luce per la meccanica classica la sua realizzazione non sarebbe impossibile, ammesso che si abbia a disposizione sufficiente energia, infatti per le leggi di Newton non vi è nessun limite alla velocità che un oggetto può acquisire. La velocità della luce può essere raggiunta e superata, e non riveste un particolare ruolo in tale teoria. D’altra parte, non si è mai osservato un fenomeno propagarsi ad una velocità maggiore di quella della luce, e ciò potrebbe far pensare che la meccanica newtoniana, sebbene valida per velocità abbastanza basse, possa non essere più valida per velocità paragonabili a quelle della luce, che quindi esista un limite che la velocità di un corpo può assumere. Tale limite non può essere superato anche fornendo indefinitamente energia al corpo per accelerarlo, e tale limite è proprio la velocità della luce.

Ciò risulta sicuramente contrario al buon senso, oltre che alle leggi di Newton, ma che trova conferma negli esperimenti compiuti su particelle alle alte velocità. Un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 10 milioni di volt acquista una velocità di 0,9988 c. Se applichiamo all’elettrone un’energia quattro volte superiore (40 Mev) per la relazione classica K\mathrm{=}\frac{1}{2}{\text{mv}}^{2} la sua velocità dovrebbe risultare raddoppiata, e cioè 1,9976 c mentre la velocità che è possibile misurare è “solamente” 0,9999 c. La meccanica newtoniana permette quindi di descrivere solo i fenomeni che agiscono a velocità basse rispetto a quella della luce, mentre risulta inadeguata a velocità elevate.

Una teoria più ampia, che includa quindi la meccanica classica come un caso particolare e permetta di descrivere i fenomeni che avvengono a velocità elevate si deve ad Albert Einsein, che nel 1905 formulò la sua teoria della relatività ristretta che, oltre a predire il risultato di tutti gli esperimenti meccanici, tanto per velocità basse quanto per quelle prossime a c, implicava le trasformazioni di Lorentz, e quindi l’invarianza delle equazioni di Maxwell.


Le trasformazioni galileiane: l’invarianza delle grandezze fondamentali Modifica

Descritto il moto di un corpo in un sistema di riferimento, sotto alcune condizioni, le trasformazioni galileiane ci permettono di descrivere lo stesso moto rispetto a altri sistemi di riferimento. Introduciamo preliminarmente il concetto di evento fisico. Un evento è identificato dalle sue tre coordinate spaziali x, y, z e dalla coordinata temporale t in un particolare sistema di riferimento. Per esempio un evento può essere lo scontro tra due particelle, o l’accensione di una sorgente luminosa. Anche se la sua rappresentazione in coordinate dipende dal sistema di riferimento, l’evento in sé non dipende da dove si trova o come si muove un particolare osservatore, né dal suo orologio.

Definiamo sistema inerziale un sistema di riferimento in cui valga la prima legge di Newton, e cioè la legge d’inerzia. In un sistema di riferimento inerziale un corpo soggetto a forze la cui risultante è una forza nulla è in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. Newton postulò l’esistenza di un tale riferimento, facendolo coincidere con il sistema di riferimento delle stelle fisse. In realtà tale sistema di riferimento è solo una buona approssimazione di un sistema inerziale: nella maggior parte degli esperimenti, si possono trascurare le accelerazioni dovute alla rotazione della terra, al suo moto di rivoluzione intorno al sole, dal moto del sole all’interno della nostra galassia ecc. e assumere come riferimento inerziale un qualunque sistema di assi fissi sulla terra.

Un qualunque sistema di assi che si muova con velocità uniforme rispetto a quest’ultimo (un treno, un aereo, una nave), è anch’esso un sistema di riferimento inerziale. Un sistema di riferimento accelerato rispetto al sistema di riferimento della terra (un automobile in accelerazione, una giostra) non è un sistema inerziale.

Consideriamo quindi un sistema di riferimento inerziale S e un secondo sistema di riferimento inerziale S in moto rispetto al primo con velocità v. Possiamo scegliere il riferimento cartesiano nei due sistemi in modo che gli assi y e y siano paralleli come anche z e z, e che il loro moto relativo avvenga lungo l’asse comune x-x.

Un evento nel punto P è identificato da un osservatore solidale con il sistema di riferimento S dalle coordinate spazio-temporali x, y, z e t. Un osservatore solidale con S' identifica lo stesso evento con le coordinate spazio-temporali x, y, z e t (fig. 1).



Ci chiediamo quale sia la relazione tra le misure x, y, z e t e x, y, z e t. Le misure spaziali e temporali vengono effettuate dai due osservatori mediante l’uso di metri e orologi. I due metri usati sono stati confrontati, e risultano identici quando si trovano in stato di quiete l’uno rispetto all’altro in un sistema di riferimento inerziale. Nelle stesse condizioni si è verificato che i due orologi sono perfettamente sincronizzati e misurano gli stessi intervalli. Ci si aspetta quindi che i metri continuino a misurare le stesse distanze anche se in moto relativo l’uno rispetto all’altro e similmente gli orologi scandiscano il tempo allo stesso modo.

Supponiamo inoltre che nell’istante in cui le origini O e O coincidono gli orologi dei due osservatori solidali rispettivamente ai sistemi S e S in moto relativo l’uno rispetto all’altro segnino zero. Le trasformazioni delle coordinate di Galileo, sono quindi:

\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}\mathrm{=}x\mathrm{-}\text{vt}\\ 
{y}^{\text{'}}\mathrm{=}y\\ 
{z}^{\text{'}}\mathrm{=}z\\ 
\\ 
\begin{array}{c}\mathrm{\lbrace }\mathrm{\lbrace }\end{array}\\ 
\end{array}(1.a)

A cui va aggiunta la trasformazione della coordinata temporale, che è implicita nelle trasformazioni di Galileo:

{t}^{\text{'}}\mathrm{=}t.(1.b)

Si ha quindi che due eventi P e Q, hanno la stessa distanza temporale in qualunque sistema di riferimento inerziale, infatti per la (1.b) {t}_{P}^{\text{'}}\mathrm{-}{t}_{Q}^{\text{'}}\mathrm{=}{t}_{P}\mathrm{-}{t}_{Q}.

Inoltre per la (1.a) si ha che la distanza tra due punti A e B, in un dato istante ({t}_{A}\mathrm{=}{t}_{B}), è la stessa per ogni osservatore inerziale {x}_{A}^{\text{'}}\mathrm{-}{x}_{B}^{\text{'}}\mathrm{=}{x}_{A}\mathrm{-}{x}_{B}.

La distanza tra due punti posti sull’asse delle ascisse è quindi pari alla differenza tra le coordinate, ed è la stessa in qualunque sistema di riferimento inerziale. In tale definizione è implicito che le ascisse siano misurate contemporaneamente. Non avrebbe senso, misurare la lunghezza di un’asta in moto prendendo la posizione di un estremo e solo dopo qualche secondo misurare la posizione del secondo estremo.

Se poi si aggiunge a questi risultati il postulato della fisica classica che la massa di un corpo è costante e non dipende dal suo moto, si ottiene che le grandezze fondamentali della meccanica: lunghezza, massa e tempo sono grandezze assolute e indipendenti dal moto relativo dell’osservatore.


Le trasformazioni galileiane: relatività newtoniana Modifica

Si consideri ora una particella in moto con velocità u=(ux, uy, uz) nel sistema di riferimento S. La velocità di questa particella si ottiene derivando rispetto al tempo le trasformazioni (1.a). Derivando l’espressione della prima coordinata si ottiene:

\frac{d{x}^{\text{'}}}{\text{dt}}\mathrm{=}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\mathrm{-}v(2.a)

Poiché t = t', quest’ultima si può scrivere come:

\frac{d{x}^{\text{'}}}{d{t}^{\text{'}}}\mathrm{=}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\mathrm{-}v(2.b)

Allo stesso modo si ottengono le altre componenti del vettore u''' che rappresenta la velocità della particella in S, ottenendo:

\begin{array}{c}{u}_{x}^{\text{'}}\mathrm{=}{u}_{x}\mathrm{-}v\\ 
{u}_{y}^{\text{'}}\mathrm{=}{u}_{y}\\ 
{u}_{z}^{\text{'}}\mathrm{=}{u}_{z}\\ 
\\ 
\begin{array}{c}\mathrm{\lbrace }\mathrm{\lbrace }\end{array}\\ 
\end{array}(3)

Nel caso più generale, in cui la velocità v ha componenti lungo tutti gli assi dei due riferimenti otteniamo, in forma vettoriale, la formula della composizione delle velocità:

u''' = uv(4)

Allo stesso modo si possono trovare le trasformazioni per l’accelerazione di una particella dall’uno all’altro sistema inerziale. Derivando ancora si ottiene infatti:


\begin{array}{c}\frac{d{u}_{x}^{\text{'}}}{d{t}^{\text{'}}}\mathrm{=}\frac{{\text{du}}_{x}}{\text{dt}}\\ 
\frac{d{u}_{y}^{\text{'}}}{d{t}^{\text{'}}}\mathrm{=}\frac{{\text{du}}_{y}}{\text{dt}}\\ 
\frac{d{u}_{z}^{\text{'}}}{d{t}^{\text{'}}}\mathrm{=}\frac{{\text{du}}_{z}}{\text{dt}}\\ 
\\ 
\begin{array}{c}\mathrm{\lbrace }\mathrm{\lbrace }\end{array}\\ 
\end{array}(5)

Quindi a=a''', cioè l’accelerazione è la stessa in qualunque sistema di riferimento inerziale e non dipende dalla velocità con cui i sistemi inerziali si muovono l’uno rispetto all’altro. Poiché nella fisica classica la massa non è influenzata dal moto del sistema di riferimento il prodotto ma sarà lo stesso in qualunque sistema di riferimento inerziale e di conseguenza anche la risultante delle forze che agisce sulla particella è la stessa se misurata in due sistemi di riferimento inerziali differenti.

Le leggi del moto di Newton e le equazioni del moto di una particella sono quindi le stesse in tutti i sistemi inerziali, e poiché in meccanica si può dimostrare che i principi di trasformazione, come quello dell’energia, della quantità di moto e del momento angolare, derivano dalle leggi di Newton, si ha che le leggi della meccanica sono invarianti nella trasformazione da un qualunque sistema inerziale ad un altro.

Da ciò si deduce, tra l’altro che il risultato di un qualunque esperimento meccanico non dipende dalla particolare scelta del sistema di riferimento dell’osservatore, purché sia inerziale e quindi nessun esperimento meccanico eseguito interamente in un solo riferimento inerziale può dire all’osservatore qual è il moto di quel riferimento rispetto a qualsiasi altro riferimento inerziale.


I fenomeni elettromagnetici Modifica

Vogliamo ora mostrare in che modo le leggi dell’elettrodinamica dipendono dal sistema di riferimento, in altri termini cerchiamo di stabilire se, al pari delle leggi della meccanica di Newton, sono invarianti per trasformazioni galileiane. Se ciò fosse vero nessun tipo di esperimento di fisica, non solo di tipo meccanico, ci permetterebbe di determinare la velocità del nostro sistema di riferimento rispetto ad un altro. Non esisterebbe quindi nessun sistema di riferimento privilegiato.

Le onde elettromagnetiche, si propagano nel vuoto. Eppure tale possibilità non era accettata da molti fisici fino agli inizi del ventesimo secolo. Immaginavano l’esistenza di un mezzo materiale in cui l’onda si propagasse, in analogia con le onde meccaniche, e a cui diedero il nome di etere. Si supponeva che esistesse una materia che permeasse l’universo e che permettesse alla luce di diffondersi. In tale ipotesi dovrebbe esistere un sistema di riferimento S in cui l’etere non è in moto e in questo sistema di riferimento le onde elettromagnetiche hanno velocità c.

Consideriamo un sistema di riferimento S' in moto con velocità v rispetto al sistema di riferimento S dell’etere e supponiamo che un impulso elettromagnetico, come ad esempio un impulso luminoso, venga emesso all’istante zero dal punto O, cioè nell’istante in cui le origini dei due riferimenti coincidono (fig. 2).


La luce si diffonderà alla velocità c nel sistema di riferimento S, percorrendo sull’asse x, nel tempo t un tratto ct, sia verso destra che verso sinistra. In S' l’impulso avrà compiuto, per la (1.a) (nel tempo t=t), un tratto di lunghezza (c v)t verso destra e (c + v)t verso sinistra, e quindi la velocità di propagazione della luce è c v verso destra e c + v verso sinistra in S.

Il moto della luce, o più in generale di un fenomeno di tipo elettromagnetico, non è quindi invariante rispetto alle trasformazioni di Galileo. Se tali trasformazioni fossero valide anche per fenomeni ottici e elettromagnetici esisterebbe un solo sistema di riferimento inerziale in cui la luce ha velocità c, il sistema di riferimento in cui “l’etere è in riposo”: un sistema di riferimento assoluto. In tutti gli altri sistemi di riferimento inerziali si rileverebbe un valore diverso per tale velocità e quindi potremmo misurare, con qualche tipo di esperimento di tipo ottico o elettromagnetico la velocità del nostro sistema di riferimento rispetto al quello assoluto.


La dispettosa asimmetria Modifica

Le leggi della fisica appaiono quindi asimmetriche: da una parte la meccanica, governata dalle leggi di Newton, e per cui valgono le regole di trasformazione galileiane, dall’altra l’elettromagnetismo e tutti i fenomeni connessi per i quali queste trasformazioni non valgono.

Se non si vuole accettare questa asimmetria si deve supporre che le leggi della fisica non sono formulate correttamente, e una loro nuova formulazione potrebbe portare sullo stesso piano la meccanica e l’elettromagnetismo. In sintesi è possibile che si verifichi una sola di queste possibilità:

  1. valgono le trasformazioni di Galileo e il principio di relatività è valido solo in meccanica ma non in elettrodinamica, per cui in meccanica non esiste nessun riferimento privilegiato, mentre in elettrodinamica il riferimento dell’etere è il riferimento assoluto.
  2. valgono le trasformazioni di Galileo, e il principio di relatività è valido sia in meccanica che in elettrodinamica. Di conseguenza le equazioni di Maxwell non sono corrette e bisognerà riformulare la loro espressione per renderle invarianti per trasformazioni galileiane.
  3. le trasformazioni di Galileo non sono valide, e il principio di relatività è valido sia in meccanica che in elettrodinamica. Di conseguenza le leggi della meccanica devono essere riscritte, così come le leggi di trasformazione, rispetto le quali sia le equazioni di Maxwell che le nuove leggi della meccanica risulteranno invarianti.

Come abbiamo anticipato ci sono prove sperimentali che le leggi della meccanica classica non sono valide per velocità elevate, e quindi quest’ultimo caso sembra essere quello corretto. Ma prima di arrivare a questo risultato ci sono stati innumerevoli tentativi per salvare le leggi di Newton, rassegnandosi quindi a questa asimmetria e cercando di dimostrare l’esistenza dell’etere, oppure creando teorie in grado di confutare le equazioni di Maxwell.


Il riferimento assoluto e l’esperimento di Michelson-Morley Modifica

Nell’ipotesi dell’esistenza del riferimento assoluto dell’etere la luce ha una velocità che, per le equazioni di Maxwell è pari a c\mathrm{=}1\mathrm{/}\sqrt{{\epsilon }_{0}{\mu }_{0}}=2.997925108, rispetto all’etere immobile. In tutti gli altri riferimenti inerziali la velocità della luce è data dalle trasformazioni di Galileo. La terra ruota intorno al sole e quindi è in moto rispetto al sistema di riferimento dell’etere. Si dovrebbe rilevare sulla terra un cosiddetto “vento d’etere”, o in altre parole si dovrebbe misurare una differenza della velocità della luce se misurata, per esempio in diversi periodi dell’anno, perché la terra nel suo moto di rotazione cambia direzione e verso della sua velocità al variare della stagione.

L’esperimento di Michelson eseguito per la prima volta nel 1881 e successivamente, in collaborazione con e Morley nel 1887 si avvaleva di un interferometro, uno strumento in grado di visualizzare le frange di interferenza di due raggi di luce.

Lo strumento faceva uso di una serie di specchi che decomponevano un fascio di luce in due fasci, per poi rifletterli più volte fino a farli collimare in un telescopio dove venivano visualizzate le frange risultanti dall’interferenza dei due raggi. Questo apparato era montato, per ragioni di stabilità, su una massiccia lastra di pietra, che veniva fatta galleggiare nel mercurio, in modo da poter essere ruotato. Per illustrare l’esperimento consideriamo una versione semplificata di tale apparato (fig. 3).



Una sorgente di luce S emette un raggio di luce verso uno specchio semiargentato M, inclinato rispetto al raggio di luce, in modo da rifletterlo perpendicolarmente rispetto alla sua direzione originaria, ma solo parzialmente. Dallo specchio M partono quindi due raggi di luce, perpendicolari tra di loro. Percorreranno rispettivamente i tratti l1 e l2 (all’incirca uguali), prima di essere riflessi, dagli specchi M1 e M2, per poi collimare nel telescopio. Questo apparato è in moto, insieme alla terra. Indichiamo con v la velocità dell’etere nel sistema di riferimento della terra (circa 30 km/s).

Il tratto l1 viene percorso dalla luce due volte, la prima nel senso opposto al moto dell’etere (la sua velocità sarà quindi c-v) e la seconda nello stesso senso (con velocità c+v). Il tempo totale impiegato dalla luce per percorrere questo tratto nei due versi sarà:

{t}_{1}\mathrm{=}\frac{{l}_{1}}{c\mathrm{-}v}+\frac{{l}_{1}}{c+v}\mathrm{=}\frac{2{\text{cl}}_{1}}{{c}^{2}\mathrm{-}{v}^{2}}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{2l}}_{1}}{c}\frac{1}{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}(6)



Per calcolare il tempo t2 impiegato dalla luce per passare dallo specchio M a M2 e poi di nuovo in M, poniamoci nel sistema di riferimento dell’etere (fig. 4). In tale sistema gli specchi, insieme a tutta la terra si muovono con una velocità uguale in modulo ma opposta in direzione rispetto al caso precedente. È da sottolineare che il passaggio tra i due sistemi di riferimento avviene in base alle trasformazioni galileiane, per le quali è implicita la trasformazione t'=t, pertanto:


\frac{{\text{ct}}_{2}}{2}\mathrm{=}\sqrt{{l}_{2}^{2}+\frac{{t}_{2}^{2}{v}^{2}}{4}}(7)


da cui {c}^{2}{t}_{2}^{2}\mathrm{=}{\mathrm{4l}}_{2}^{2}+{t}_{2}^{2}{v}^{2}. Risolvendo quest’ultima equazione rispetto a t2 otteniamo un tempo di percorrenza:{t}_{2}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{2l}}_{2}}{c}\frac{1}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}

I due raggi raggiungeranno lo specchio M e quindi anche il telescopio, con una differenza di tempi data da:

\mathit{\Delta t}\mathrm{=}{t}_{2}\mathrm{-}{t}_{1}\mathrm{=}\frac{2}{c}\left(\frac{{l}_{2}}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}\mathrm{-}\frac{{l}_{1}}{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\right)(8)

Se ruotiamo lo strumento di 90° si scambieranno i ruoli dei cammini l1 e l2. Il primo diventa il cammino perpendicolare al moto dell’etere e il secondo sarà quello parallelo. Distinguiamo i tempi corrispondenti ai percorsi modificati con gli apici, possiamo scrivere:

\Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{=}{t}_{2}^{\text{'}}\mathrm{-}{t}_{1}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{2}{c}\left(\frac{{l}_{2}}{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{-}\frac{{l}_{1}}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}\right).(9)

La rotazione ha modificato le differenze di tempi di:

\Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{-}\mathit{\Delta t}\mathrm{=}\frac{2}{c}\left(\frac{{l}_{2}+{l}_{1}}{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{-}\frac{{l}_{2}+{l}_{1}}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}\right)\mathrm{=}\frac{2\left({l}_{1}+{l}_{2}\right)}{c}\left(\frac{1\mathrm{-}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\right)(10)

Applicando le sviluppo binomiale e trascurando i termini di ordine superiore al secondo, troviamo:

\Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{-}\mathit{\Delta t}\mathrm{\approx }\frac{2\left({l}_{1}+{l}_{2}\right)}{c}\left(1+\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}\mathrm{-}1\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}\right)\mathrm{=}\frac{\left({l}_{1}+{l}_{2}\right)}{c}\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}(11)

Quindi ci si aspetta uno spostamento delle frange di interferenza delle due onde durante la rotazione di 90° dello strumento. Sia  la lunghezza d’onda della luce usata, il suo periodo di vibrazione sarà T=/c. Lo spostamento di frange sarà quindi:

\mathit{\Delta N}\mathrm{=}\frac{\Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{-}\mathit{\Delta t}}{T}\mathrm{\approx }\frac{\left({l}_{1}+{l}_{2}\right)}{\text{Tc}}\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}\mathrm{=}\frac{\left({l}_{1}+{l}_{2}\right)}{\lambda }\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}(12)

Nell’interferometro usato da Michelson e Morley, i bracci l1 e l2 erano pressoché della stessa lunghezza e mediante un sistema di specchi alla luce veniva fatto percorrere un cammino ottico (l1 + l2)=22 m. Fu usata luce visibile, di lunghezza d’onda di =5,510-7. Inoltre, poiché v\mathrm{/}c\mathrm{=}{\text{10}}^{\mathrm{-}4}, era atteso uno spostamento di frange :

\mathit{\Delta N}\mathrm{=}\frac{\text{22}\text{m}}{5\mathrm{\times }{\text{10}}^{\mathrm{-}7}m}{\text{10}}^{\mathrm{-}8}\mathrm{=}\mathrm{0,4}(13)

Il dispositivo, nell’esperimento del 1887, sarebbe stato in grado per rilevare spostamenti di frangia dell’ordine di 0,01, ma nessuno spostamento fu rilevato. Tale esperimento fu ripetuto in diverse stagioni a diverse ore del giorno e della notte, poiché per il moto della terra attorno al sole e del moto diurno della terra l’orientazione e il verso del moto dello strumento rispetto al presunto riferimento dell’etere cambia, ma non furono osservati spostamenti di frange.

In seguito altri ricercatori tentarono di rilevare il presunto vento dell’etere, perfezionando lo strumento utilizzato da Michelson e Morley, ma sempre senza successo. Tale risultato conduce a pensare che in qualunque riferimento inerziale la velocità della luce è la stessa, ma ciò non era facilmente accettabile dai fisici dell’epoca, poiché contraddiceva le trasformazioni di Galileo, e per tale motivo furono proposte delle ipotesi alternative.


L’ipotesi alternative a favore del riferimento dell’etere Modifica

L’ipotesi di Lorentz-Fitzgerald fu elaborata allo scopo di spiegare il risultato negativo dell’esperimento di Michelson e Morley e consiste nel supporre che tutti i corpi subiscono una contrazione di \sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}} nella direzione relativa al moto rispetto all’etere stazionario.

Indichiamo con  il rapporto v/c, e con l0 la lunghezza di un corpo a riposo, e con l la sua lunghezza in movimento e applichiamo ai bracci dell’interferometro tale trasformazione. Le differenze temporali (8) e (9) diventano quindi:

\mathit{\Delta t}\mathrm{=}\frac{2}{c}\frac{1}{\sqrt{1\mathrm{-}{\beta }^{2}}}\left({l}_{1}^{0}\mathrm{-}{l}_{2}^{0}\right)(14)

e, a seguito della rotazione di 90°:

\Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{2}{c}\frac{1}{\sqrt{1\mathrm{-}{\beta }^{2}}}\left({l}_{1}^{0}\mathrm{-}{l}_{2}^{0}\right)(15)

Quindi \Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{-}\mathit{\Delta t}\mathrm{=}0, in accordo con l’esperienza di Michelson e Morley, dove i bracci dell’interferometro erano all’incirca uguali. Degli spostamenti di frange si sarebbero dovuti rilevare nel caso di bracci di lunghezza diversa, ma esperimenti compiuti con un interferometro con bracci asimmetrici però non rilevarono spostamenti di frange.

Una seconda ipotesi avanzata allo scopo di conservare il concetto di riferimento privilegiato dell’etere fu quella del cosiddetto trascinamento dell’etere. Se si suppone che l’etere sia “trascinato” dalla massa dei corpi il risultato di Michelson e Morley sarebbe giustificato in base alla meccanica classica, e non richiederebbe neppure modifiche alla teoria dell’elettromagnetismo.

Tale ipotesi però è contraddetta dal fenomeno dell’aberrazione della luce stellare. Tale fenomeno, osservato già nel 1727 da Bradley, consiste in un apparente moto delle stelle: nel corso dell’anno le stelle sembrano percorrere un’orbita circolare il cui diametro è 41 secondi di arco.

Questo fenomeno è riconducibile al moto della terra rispetto alle stelle fisse: il raggio di luce proveniente da una stella posta allo zenit entra nell’obiettivo del telescopio, ma poiché lo strumento è in moto insieme alla terra ad una velocità di circa 30 km/s, affinché la luce arrivi all’oculare è necessario inclinare opportunamente il cannocchiale (fig. 5).



Infatti nell’intervallo di tempo t il raggio di luce passa dall’obiettivo all’oculare, percorrendo un tratto l=ct. Nello stesso intervallo di tempo la terra, e con essa anche il cannocchiale si sarà spostata di un tratto vt. L’angolo d’inclinazione da dare allo strumento è dato da:

\text{tan}\alpha \mathrm{=}\frac{v\mathit{\Delta t}}{c\mathit{\Delta t}}\mathrm{=}\frac{v}{c}\mathrm{\approx }{\text{10}}^{\mathrm{-}4}(16)

Quindi =20,5". Tenendo conto che il moto della terra si inverte ogni sei mesi la direzione verso cui inclinare il telescopio varierà in base alle stagioni, e in sei mesi si avrà un’oscillazione della posizione apparente di 41", in accordo con i risultati sperimentali.

Tale fenomeno contraddice quindi l’ipotesi di trascinamento dell’etere: se l’etere fosse connesso ai corpi non dovremmo aspettarci alcuna aberrazione.

Una ulteriore conferma ci è data dall’esperienza di Fizeau del 1851, precedente quindi all’esperimento di Michelson e Morley. L’apparato sperimentale ideato da Fizeau consiste in una serie di tubazioni in cui si può far scorrere dell’acqua (fig. 6). La luce emessa da una sorgente viene parzialmente deviata da uno specchio semiargentato, in modo che i due raggi risultanti percorrono le tubazioni il primo nel senso della corrente dell’acqua nei tratti M1-M2 e M3-M4, e l’altro nel senso opposto, nei tratti M4-M3 e M2-M1, ciascuno percorrerà un percorso 2l all’interno delle tubazioni. In questo modo, per l’ipotesi di trascinamento dell’etere, alla velocità della luce nell’acqua sarà da sommare o sottrarre la velocità dell’acqua nelle tubature.

Quando i due raggi giungono nel telescopio producono delle frange di interferenza. Nell’ipotesi che l’etere sia trascinato dai corpi in moto si dovrebbero osservare uno spostamento delle frange di interferenza quando l’acqua nelle tubazioni, inizialmente in quiete, viene fatta scorrere con una velocità v. La velocità della luce in un mezzo con coefficiente di rifrazione n è V=c/n, e la velocità dei due raggi, rispettivamente a favore e contrario alla corrente sarà V+v e V-v.



La differenza tra i tempi impiegati dai due raggi luminosi a raggiungere il telescopio è:

\mathit{\Delta t}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2l}}{V\mathrm{-}v}\mathrm{-}\frac{\mathrm{2l}}{V+v}\mathrm{=}\frac{4\text{lv}}{{V}^{2}}\frac{1}{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{V}^{2}}(17)

Lo spostamento di frange atteso è \mathit{\lambda \Delta t}, dove \text{νλ} è la frequenza della luce emessa dalla sorgente. Quello che invece si osserva è uno spostamento di frange di misura molto inferiore, come se l’etere fosse trascinato solo parzialmente dall’acqua, con una velocità:

{v}^{\text{'}}\mathrm{=}v\left(1\mathrm{-}\frac{1}{{n}^{2}}\right)(18)

e ciò contraddice l’esperimento di Michelson e Morley.

Quindi esperimenti svolti smentiscono le ipotesi dell’esistenza dell’etere, e quindi di un sistema di riferimento privilegiato per le leggi dell’elettrodinamica. Volendo ritenere valide le trasformazioni di Galileo bisogna quindi supporre che le leggi dell’elettrodinamica non siano corrette.


Le teorie emissive Modifica

Le varie teorie volte a modificare le leggi dell’elettromagnetismo al fine di rendere compatibili le trasformazioni di Galileo con il risultato di Michlson e Morley prendono il nome di teorie emissive.

Esse hanno in comune l’ipotesi che la velocità della luce è influenzata dal moto della sorgente rispetto all’osservatore, ma nessun esperimento sembra confermare tale ipotesi. Eseguendo infatti l’esperimento di Michelson e Morley con luce proveniente da sorgenti extraterrestri, come il sole o le stelle, non si sono verificati spostamenti di frangia.

Secondo tale teorie si sarebbero dovute rilevare inoltre delle anomalie nell’orbita delle stelle doppie: due stelle che ruotano intorno ad un comune centro di massa, e quindi si avvicinano e si allontanano alternativamente rispetto ad un osservatore posto sulla terra. La luce emessa dalla stella che si avvicina sarà quindi più veloce di quella emessa dalla stella che se ne allontana, e pertanto l’orbita di questo sistema binario dovrebbe apparire ellittico e non circolare, ma le osservazioni non concordano con questo risultato.

Infine, osservazioni fatte con sorgenti terrestri ad alta velocità (radiazione elettromagnetica di mesoni 0 accelerati fino a velocità v=0,99975c), hanno confermato entro i limiti sperimentali l’infondatezza delle teorie emissive.

Prendendo atto che non esiste nessun riferimento assoluto, e che non c’è motivo di supporre che le leggi dell’elettromagnetismo siano da correggere, rimane in piedi solo l’ipotesi che le trasformazioni di Galileo debbano essere modificate, in modo che le leggi della fisica (sia quelle della meccanica che quelle dell’elettrodinamica), siano invarianti per queste nuove trasformazioni, e che la velocità della luce sia la stessa in tutti i sistemi di riferimento.


La relatività ristretta Modifica

Nel 1905, Albert Einstein nel suo articolo Sulla elettrodinamica dei corpi in movimento, mettendo in evidenza l’infondatezza della teoria dell’etere, avanzò l’ipotesi che le leggi dell’elettrodinamica, al pari di quelle della meccanica fossero le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale, ed inoltre che la velocità della luce non dipenda dal moto del corpo che la emette.

I postulati della teoria della relatività ristretta sono i seguenti:

  • Principio di relatività Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali.Non esiste un sistema inerziale privilegiato.
  • Principio di costanza della velocità della luceLa velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali.

Il principio di relatività newtoniano si riferiva solo alle leggi della meccanica, mentre quello di Einstein si riferisce a tutte le leggi della fisica. Per questo postulato non è possibile, con nessun tipo di esperimento di natura meccanica, ottico o elettromagnetico, compiuto interamente in un solo sistema di riferimento inerziale, stabilire quale è il moto di quest’ultimo rispetto qualunque altro sistema di riferimento inerziale.

Il secondo postulato implica chiaramente che le trasformazioni di Galileo debbano essere modificate in quanto la velocità della luce non si può sommare con quella del moto della sorgente. Sappiamo che le leggi della meccanica classica sono invarianti per trasformazioni di Galileo, ma queste nuove trasformazioni non necessariamente renderanno invarianti le leggi di Newton, quindi anche queste ultime andranno modificate.

La teoria della relatività che discende da questi due postulati è in accordo con tutti gli esperimenti che abbiamo esposto finora: l’esperienza di Michelson e Morley, l’aberrazione della luce stellare, l’esperienza di Fizeau, le osservazioni sulle stelle doppie. Prevede inoltre una serie di fenomeni non osservati precedentemente alla sua formulazione, e che successivamente sono stati verificati.


La relatività della simultaneità Modifica

Alla base della teoria della relatività vi è la fondamentale scelta di abbandonare l’ipotesi, implicita nelle trasformazioni galileiane, di un tempo assoluto, e quindi di non ritenere necessariamente valida la (1.b).

Ciò significa, per esempio che se due eventi A e B avvengono allo stesso istante per un osservatore inerziale, un diverso osservatore inerziale potrebbe vedere i due eventi avvenire in istanti differenti. Prima di approfondire tale argomento stabiliamo in che modo è possibile definire il concetto di simultaneità.

In un certo luogo avvengono due eventi A e B, per esempio l’arrivo di un treno e l’accensione di una lampada. In quello stesso luogo è presente un orologio e leggiamo l’istante in cui questi eventi si sono verificati. Se la lettura dei due eventi è la stessa diciamo che i due eventi sono simultanei: se il treno transita davanti all’orologio alle 12 e alle 12 la lampada posta in prossimità dell’orologio si accende ciò significa che il passaggio del treno e l’accensione della lampada sono stati simultanei.

Se gli eventi si verificano in posizioni differenti diremo che sono stati simultanei se gli orologi che si trovano nel luogo dove si verificano gli eventi segnano lo stesso tempo nell’istante in cui tali eventi avvengono. È fondamentale quindi essere in grado di sincronizzare i due orologi e ciò potrebbe essere banalmente ottenuto facendo in modo che un osservatore registri lo stesso tempo sull’orologio posto in A, che per quello posto in B. Ma dal momento che la luce compie il tratto L tra B ed A in un tempo finito L/c, quando l’osservatore in A vede i due orologi sincronizzati, l’osservatore in B li vede sfasati di 2L/c per cui questo criterio di sincronizzazione non è valido perché non è in grado di mettere d’accordo tutti gli osservatori dello stesso sistema di riferimento sul tempo segnato dagli orologi.

In alternativa si potrebbero sincronizzare i due orologi nello stesso luogo e poi spostarli nelle posizioni A e B. Questa operazione presuppone però che la capacità di misurare il tempo di un orologio non sia condizionata dal suo moto, ma tale relazione non può essere scartata a priori.

Sincronizziamo quindi i due orologi deve avvenire a distanza mediante segnali. Le onde elettromagnetiche sono gli strumenti più adatti a tale scopo dal momento che la loro velocità nel vuoto non dipende dalla loro lunghezza d’onda, ampiezza o direzione di propagazione. Inoltre la velocità delle onde elettromagnetiche, oltre ad essere la più alta conosciuta è la stessa in qualunque sistema di riferimento inerziale.

Tenendo quindi conto della velocità del segnale si può fare in modo che quando l’orologio in A segna t=0 venga emesso un segnale luminoso. L’orologio in B sarà settato a L/c nel momento in cui riceverà il segnale proveniente da A. Equivalentemente si potrebbe posizionare una sorgente nel punto medio del segmento AB e fare in modo che entrambi gli orologi segnino t=0 nel momento in cui ricevono il segnale. Tutti gli osservatori concorderanno in questo modo sulle misure segnate dagli orologi, infatti se A e B, e B e C sono sincronizzati lo saranno anche A e C.

Stabilito quindi un criterio per sincronizzare degli orologi in due qualsiasi punti di un sistema di riferimento possiamo definire correttamente il concetto di simultaneità: due eventi che accadono in luoghi diversi si dicono simultanei se due orologi sincronizzati segnano lo stesso tempo nell’istante in cui i due eventi si verificano.

Cosa possiamo dire invece riguardo le misure che possono fare due osservatori che si trovano in sistemi di riferimento diversi?

Supponiamo che un treno, di lunghezza L, transiti in una stazione ad una velocità v e venga colpito ai suoi estremi A e B da due fulmini, che lasciano dei segni sia sul treno che sul terreno nei punti A e B (fig. 7.a). Un osservatore fermo rispetto alla banchina della stazione nel punto M vede il treno muoversi da sinistra verso destra e osserva che la luce che proviene dal fulmine che ha colpito la testa del treno lo raggiunge nel medesimo istante della luce del fulmine che è caduto in coda (fig. 7.c). Inoltre dalle posizioni dei segni lasciati sul terreno dai fulmini l’osservatore stabilisce che si trovava esattamente nel punto medio tra A e B quando i fulmini sono caduti. Ne deduce quindi che essi sono stati simultanei.



Questo osservatore prende nota dell’istante in cui la luce proveniente dai due fulmini raggiunge il punto medio M' del treno (fig. 7.b). Questo punto si muove insieme al treno, e pertanto la luce del fulmine di coda dovrà percorrere un po’ più di L/2 per raggiungerlo, mentre la luce del fulmine di testa percorrerà un tratto inferiore a L/2. Di conseguenza la luce del fulmine di testa giungerà alla mezzeria del treno prima di quella del fulmine di coda.

Un viaggiatore, seduto sul treno nel punto M' vedrà uno dei due fulmini prima dell'altro per cui, dal suo punto di vista, i due fulmini non sono stati contemporanei: due eventi simultanei in un sistema di riferimento non necessariamente lo sono rispetto un altro sistema di riferimento.

La simultaneità è quindi un concetto relativo, e ciò è dovuto alla velocità finita della luce: se la luce impiegasse un tempo nullo per raggiungere tutti gli osservatori, essi concorderebbero sulla simultaneità degli eventi.

Segue da questo risultato che anche la lunghezza è un concetto relativo: dal momento che misurare una lunghezza consiste nell’identificare le posizioni che occupano i suoi estremi nel medesimo istante. Dal momento che due osservatori possono non concordare sulla contemporaneità della rilevazione di questi estremi, la misura della lunghezza di un corpo può differire da un sistema di riferimento da un altro.

Una ulteriore conseguenza della relatività della simultaneità è che il ritmo con cui battono gli orologi dipende dal sistema di riferimento: consideriamo due orologi, uno su un treno e uno sulla terra, e supponiamo che nel momento in cui passano l’uno vicino all’altro segnino lo stesso tempo. Quando si saranno allontanati le loro lancette non possono avere simultaneamente posizioni identiche se misurate da un osservatore a terra, o equivalentemente da un osservatore sul treno, perché, per la relatività della simultaneità, non concorderanno sull’istante in cui confrontare le letture dei due orologi. Le misure degli intervalli di tempo sono quindi anch’esse relative e dipendono dal sistema di riferimento.


La dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze Modifica

Cerchiamo di valutare con degli esperimenti ideali quali sono i principali effetti delle trasformazioni di Lorentz nella misura delle lunghezze e degli intervalli di tempo tra due sistemi di riferimento inerziali.

Confronto tra lunghezze perpendicolari al moto relativo: nei due sistemi di riferimento S e S, in moto l’uno rispetto all’altro lungo l’asse comune x-x, vengono posizionate due aste, rispettivamente lungo l’asse y e l’asse y, in modo che non si scontrino quando gli assi si sovrappongono. Per esempio poniamo che ciascuna asta misuri un metro se la sua lunghezza è valutata nel sistema di riferimento in cui non è in moto. Quale sarà la lunghezza che un osservatore solidale al sistema S assegnerà all’asta che gli appare in moto? Per capirlo posizioniamo alle estremità superiori delle aste una matita, in modo che quando gli assi y e y si sovrappongono, una delle due aste, quella che appare più corta, lascerà un segno sull’altra.

Supponiamo che l’osservatore solidale con S rilevi un segno sull’asta posizionata lungo l’asse y, per questo osservatore quindi l’asta in moto è più corda dell’asta in quiete rispetto ad esso. Per il principio di relatività anche un osservatore solidale con S' vede l’asta in moto, più corta dell’asta in quiete rispetto ad esso, per cui anche l’asta posizionata lungo l’asse y sarà segnata dalla matita. L’assurdo dimostra che tale ipotesi non è possibile. Se al contrario l’esperimento rilevasse che l’asta in moto è più lunga rispetto a quella in quiete rispetto a uno dei due sistemi di riferimento, si perverrebbe analogamente ad un assurdo, pertanto le due aste non possono che risultare della stessa lunghezza sia in S che in S.

Confronto di misure di intervalli temporali: sul pavimento di un treno (S') che si muove con velocità uniforme v rispetto alla terra (S), viene sistemata una sorgente luminosa e sul soffitto, sulla sua verticale uno specchio. Un passeggero misura il tempo impiegato dalla luce per percorrere il tratto tra la sorgente e lo specchio per poi ritornare alla sorgente (A'B'C'A') (fig. 8.a).



Tale tempo è \Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{2\text{A'B'}}{c} (fig. 8.a). Un osservatore posto all’esterno del treno, lo vede muoversi con velocità v da sinistra verso destra, misura anch’esso l’intervallo di tempo che intercorre tra l’emissione del raggio di luce dalla sorgente, la riflessione sullo specchio e il ritorno alla sorgente (ABC) (fig. 8.b).

Il percorso compiuto dalla luce dal suo punto di vista è dato dalla somma dei segmenti AB e BC, pertanto: \mathit{\Delta t}\mathrm{=}\frac{\text{AB}+\text{BC}}{c}\mathrm{=}\frac{\text{2AB}}{c}. D’altra parte DB=A'B' in quanto i segmenti sono perpendicolari al moto, e quindi \text{A'B'}\mathrm{=}\text{DB}\mathrm{=}\sqrt{{\left(\text{AB}\right)}^{2}\mathrm{-}{\left(\text{AD}\right)}^{2}}, \text{2AD}\mathrm{=}v\mathit{\Delta t} e \text{2AB}\mathrm{=}c\mathit{\Delta t}:

\frac{\Delta {t}^{\text{'}}}{\mathit{\Delta t}}\mathrm{=}\frac{A\text{'}B\text{'}}{\text{AB}}\mathrm{=}\frac{\sqrt{{\left(\text{AB}\right)}^{2}\mathrm{-}{\left(\text{AD}\right)}^{2}}}{\text{AB}}\mathrm{=}\sqrt{1\mathrm{-}{\left(\frac{\text{AD}}{\text{AB}}\right)}^{2}}\mathrm{=}\sqrt{1\mathrm{-}\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}.(19)

Quindi l’osservatore sulla terra vede trascorrere un intervallo di tempo maggiore di quello rilevato dal passeggero ed egli conclude che l’orologio del passeggero rimane indietro rispetto al suo.

Confronto di lunghezze parallele al moto relativo: immaginiamo che due differenti osservatori inerziali, uno posto su un treno che passa per la stazione con velocità uniforme v e l’altro fermo nella stazione, vogliano misurare la lunghezza della piattaforma della stazione. L’osservatore posto sulla terra trova che tale lunghezza è L, e sostiene che il passeggero ha coperto questa distanza nel tempo t=L/v.

Il passeggero sul treno osserva la piattaforma avvicinarsi e allontanarsi e misura la differenza di tempo t' tra i due eventi.

Come abbiamo visto \Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{=}\mathit{\Delta t}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{=}L\mathrm{/}v\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}. Per il passeggero è la piattaforma della stazione a muoversi con velocità v, dal suo punto di vista quindi: {L}^{\text{'}}\mathrm{=}\mathit{v\Delta }{t}^{\text{'}}\mathrm{=}L\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}, vale a dire che un corpo di lunghezza a riposo L, in un riferimento in cui si muova con velocità v misura invece L\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}.

La differenza di fase nella sincronizzazione degli orologi: immaginiamo di avere due orologi A e B in riposo nel riferimento S' e sia L la loro distanza in questo sistema di riferimento. Accendiamo una lampada esattamente nel punto medio tra A e B, e facciamo in modo che i due orologi vengano settati a t=0 quando la luce li raggiunge.

Per l'osservatore S la distanza fra gli orologi è L\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}. Inoltre, poiché per S i punti A e B si muovono verso destra mentre il fronte d’onda si espande, luce raggiunge il punto A prima che il punto B. In S l'orologio in A sarà settato a 0 prima di quello in B e quindi i due orologi non appariranno in fase per S. Quale sarà la loro differenza di fase?

Sia t=0 l'istante in cui S vede partire l'impulso luminoso e t=tA l’istante in cui raggiunge il punto A, si ha: {\text{ct}}_{A}\mathrm{=}{L}^{\text{'}}\mathrm{/}2\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{-}{\text{vt}}_{A}, da cui:

{t}_{A}\mathrm{=}\frac{{L}^{\text{'}}\mathrm{/}2\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{c+v}(20)

Il punto B è raggiunti dalla luce nell’istante t=tB, dopo aver percorso il tratto {\text{ct}}_{B}\mathrm{=}{L}^{\text{'}}\mathrm{/}2\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}+{\text{vt}}_{B}, da cui:

{t}_{B}\mathrm{=}\frac{{L}^{\text{'}}\mathrm{/}2\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{c\mathrm{-}v}(21)

La differenza di fase tra i due orologi, misurata dagli orologi di S è quindi

\mathit{\Delta t}\mathrm{=}{t}_{B}\mathrm{-}{t}_{A}\mathrm{=}\frac{{L}^{\text{'}}\mathrm{/}2\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{c+v}\mathrm{-}\frac{{L}^{\text{'}}\mathrm{/}2\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{c\mathrm{-}v}\mathrm{=}\frac{{L}^{\text{'}}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{{c}^{2}\mathrm{-}{v}^{2}}.(22)

Per la dilatazione degli intervalli temporali l’orologio in A, per l’osservatore S segnerà:

\Delta {t}^{\text{'}}\mathrm{=}\mathit{\Delta t}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{=}\frac{{L}^{\text{'}}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{{c}^{2}\mathrm{-}{v}^{2}}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{=}\frac{{L}^{\text{'}}\left(1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}\right)}{{c}^{2}\mathrm{-}{v}^{2}}\mathrm{=}\frac{{L}^{\text{'}}v}{{c}^{2}}(23)

quando l'orologio in B segna t'=0.

Gli orologi di S' saranno quindi sfasati per S. L'orologio in A sarà avanti rispetto a quello in B di \frac{{L}^{\text{'}}v}{{c}^{2}}, quindi tanto grande è la distanza tra i due punti tanto maggiore sarà la loro differenza di fase.


Le trasformazioni di Lorentz Modifica

Abbiamo visto che le trasformazioni di Galileo devono essere sostituite in modo che le nuove trasformazioni siano coerenti con il principio di relatività e che quindi rendano invarianti le leggi dell’elettrodinamica. Le leggi della fisica classica dovranno essere invece modificate ed anch’esse dovranno risultare invarianti per queste nuove trasformazioni, ma poiché a basse velocità, le leggi della fisica classica sembrano essere perfettamente valide, le nuove trasformazioni dovranno ricondursi a quelle di Galileo per v<<c.

Le trasformazioni introdotte da Lorentz nel 1904 sono tali da rendere invarianti le equazioni di Maxwell, e furono dedotte a priori per ottenere l’invarianza di tali equazioni, mentre Einstein derivò queste stesse trasformazioni dai due postulati della relatività ristretta.

Consideriamo per semplicità il sistema di riferimento S, in moto rispetto ad S con velocità v lungo l’asse in comune x-x. Dai postulati della relatività si possono dedurre le cosiddette equazioni di trasformazione di Lorentz:

\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{x\mathrm{-}\text{vt}}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}\\ 
{y}^{\text{'}}\mathrm{=}y\\ 
{z}^{\text{'}}\mathrm{=}z\\ 
{t}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{t\mathrm{-}\left(v\mathrm{/}{c}^{2}\right)x}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}\\ 
\\ 
\begin{array}{c}\mathrm{\lbrace }\mathrm{\lbrace }\mathrm{\lbrace }\end{array}\\ 
\end{array}(24)

La radicale novità di queste equazioni consiste nella rinuncia al concetto di tempo assoluto, che nelle trasformazioni di Galileo era implicito. Queste trasformazioni rendono inoltre invarianti le equazioni di Maxwell e, come è facile verificare, per v0 si riducono alle trasformazioni di Galileo.

Resta quindi da vedere come modificare le leggi della fisica classica in modo che risultino anch’esse invarianti per le trasformazioni di Lorentz.


Cinematica relativistica Modifica

Vediamo quale forma assumono le equazioni di trasformazione della velocità per le trasformazioni di Lorentz.

Consideriamo il caso di un corpo in moto uniforme con velocità u' in S, lungo l'asse x-x in comune tra S e S, come può essere per esempio, un passeggero che cammina lungo un treno (S), a sua volta in moto rispetto alla terra (S).

Per le trasformazioni di Lorentz si ha:

{x}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{x\mathrm{-}\text{vt}}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}\mathrm{=}{u}^{\text{'}}{t}^{\text{'}} e {t}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{t\mathrm{-}\left(v\mathrm{/}{c}^{2}\right)x}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}(25)

Combinando questi due risultati si ha x\mathrm{-}\text{vt}\mathrm{=}{u}^{\text{'}}\left(t\mathrm{-}\frac{v}{{c}^{2}}x\right), che si può scrivere come:

x\mathrm{=}\frac{{u}^{\text{'}}+v}{1+{u}^{\text{'}}v\mathrm{/}{c}^{2}}t(26)

Se indichiamo con u la velocità del passeggero rispetto alla terra, e quindi x=ut. Dalla precedente si ottiene il cosiddetto teorema relativistico di addizione della velocità, o di Einstein:

u\mathrm{=}\frac{{u}^{\text{'}}+v}{1+{u}^{\text{'}}v\mathrm{/}{c}^{2}}(27.a)

Si verifica facilmente che relazione inversa della precedente è

{u}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{u\mathrm{-}v}{1\mathrm{-}uv\mathrm{/}{c}^{2}}(27.b).

Nel caso più generale di un corpo in moto uniforme con componenti non nulle della velocità rispetto all’asse y e che, negli istanti {t}_{1}^{\text{'}} e {t}_{2}^{\text{'}} assuma coordinate {y}_{1}^{\text{'}}e {y}_{2}^{\text{'}}sull’asse y.

La componente della sua velocità rispetto all’asse y' è {u}_{y}^{\text{'}}\mathrm{=}\Delta {y}^{\text{'}}\mathrm{/}\Delta {t}^{\text{'}}. Per le trasformazioni di Lorentz si ha:

{y}_{2}^{\text{'}}\mathrm{-}{y}_{1}^{\text{'}}\mathrm{=}{y}_{2}\mathrm{-}{y}_{1} e {t}_{2}^{\text{'}}\mathrm{-}{t}_{1}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{{t}_{2}\mathrm{-}{t}_{1}\mathrm{-}\left({x}_{2}\mathrm{-}{x}_{1}\right)v\mathrm{/}{c}^{2}}{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}, si ottiene quindi

{u}_{y}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{\mathit{\Delta y}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{\mathit{\Delta t}\mathrm{-}\mathit{\Delta x}v\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{=}\frac{\left(\mathit{\Delta y}\mathrm{/}\mathit{\Delta t}\right)\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{1\mathrm{-}\left(\mathit{\Delta x}\mathrm{/}\mathit{\Delta t}\right)v\mathrm{/}{c}^{2}}\mathrm{=}\frac{{u}_{y}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{1\mathrm{-}{u}_{x}v\mathrm{/}{c}^{2}}(28.a)

e la sua inversa:

{u}_{y}\mathrm{=}\frac{{u}_{y}^{\text{'}}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{1+{u}_{x}^{\text{'}}v\mathrm{/}{c}^{2}}(28.b)

Similmente per la componente della velocità lungo l’asse z:

{u}_{z}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{{u}_{z}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{1\mathrm{-}{u}_{x}v\mathrm{/}{c}^{2}} e {u}_{z}\mathrm{=}\frac{{u}_{z}^{\text{'}}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{1+{u}_{x}^{\text{'}}v\mathrm{/}{c}^{2}}(29)

Nel caso in cui non sia presente la componente della velocità lungo l’asse x', le (28.a) e (28.b) diventano:

{u}_{y}\mathrm{=}{u}_{y}^{\text{'}}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}} e {u}_{z}\mathrm{=}{u}_{z}^{\text{'}}\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}(30)

L’origine del fattore \sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}} nella (30) è dovuto dalla dilatazione dei tempi, o in altri termini dalla relazione di trasformazione della variabile temporale. Notiamo inoltre che per velocità v sufficientemente piccole queste trasformazioni si riducono a quelle indotte dalle trasformazioni di Galileo.

Possiamo anche ottenere le equazioni relativistiche di trasformazione dell’accelerazione, derivando rispetto al tempo le (27), (28) e (29). Per le trasformazioni di Galileo l’accelerazione era invariante nel passaggio tra sistemi di riferimento, mentre per le trasformazioni di Lorentz, la componente dell’accelerazione lungo l’asse in comune x-x', si ottengono dalla seguente relazione:

{a}_{x}^{\text{'}}\mathrm{=}\frac{d{u}_{x}^{\text{'}}}{d{t}^{\text{'}}}\mathrm{=}\frac{d{u}_{x}^{\text{'}}}{{\text{du}}_{x}}\frac{{\text{du}}_{x}}{\text{dt}}\frac{\text{dt}}{d{t}^{\text{'}}}\mathrm{=}\frac{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}{{\left(1\mathrm{-}v\mathrm{/}{c}^{2}{u}_{x}\right)}^{2}}{a}_{x}\frac{\sqrt{1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}}}{1\mathrm{-}v\mathrm{/}{c}^{2}{u}_{x}}\mathrm{=}{a}_{x}\frac{\sqrt{{\left(1\mathrm{-}{v}^{2}\mathrm{/}{c}^{2}\right)}^{2}}}{{\left(1\mathrm{-}v\mathrm{/}{c}^{2}{u}_{x}\right)}^{3}}.(31)

Ed analoghe equazioni si possono trovare per le altre componenti dell’accelerazione.


Bibliografia Modifica

R. Resnick – Introduzione alla Relatività Ristretta – Casa Editrice Ambrosiana, 1979

G. M. Prosperi – Elementi di Teoria della Relatività Ristretta – CUSL

S. Bobbio, E. Gatti – Elementi di Elettromagnetismo – Boringhieri, 1984

P. A. Tipler – Corso di Fisica vol. 3 – Zanichelli Editore, 1995

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