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Un satellite compie un orbita circolare di raggio r intorno alla Terra. Il suo moto è un moto circolare uniforme di periodo T.

La velocità angolare del satellite è data da $ \omega = \frac{2 \pi}{T} $ e la sua velocità è $ v = \frac{2 \pi r}{T} $, mentre l'accelerazione centrifuga $ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T r} = \frac{4 \pi^2}{T} r = \omega^2 r $.

Il satellite è soggetto alla forza gravitazionale della Terra $ F = G \frac{m M_T}{r^2} $, essendo m la massa del satellite e MT quella della Terra. Per cui l'accelerazione dovuta alla forza gravitazionale è $ a_g = G \frac{M_T}{r^2} $.

Affinché l'orbita sia stabile deve essere:

$ a_c = a_g \Rightarrow \omega^2 r = G \frac{M_T}{r^2} \Rightarrow \omega^2 = G \frac{M_T}{r^3} $

si ottiene quindi

$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}} $

e

$ v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} $

Satellite newton

Un satellite in orbita intorno alla Terra, posto nell'orbita più bassa possibile (ripercorrendo quindi l'esperimento ipotetico di Newton, di un proiettile lanciato tangenzialmente alla Terra), ponendo cioè r = RT, si ha

$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_T^3}{G M_T}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(6,37 \times 10^6 m)^3}{6,67 \times 10^-11 Nm^2/kg^2 \; 6 \times 10^24 kg}} = 5050 \; s = 1h 24m 10s $

$ v = \sqrt{\frac{G M_T}{R_T}} = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^-11 \; Nm^2/kg^2 \; 6 \times 10^24 \; kg}{6,37 \times 10^6 \; m}} = 7926 \; m/s = 28535 \; km/h $

Un altro caso notevole è rappresentato dal moto di un satellite geostazionario, che mantiene cioè la stessa posizione relativa rispetto alla superficie della Terra, quindi T = 24 h = 86400 s.

Il satellite avrà un'orbita di raggio

$ r = \sqrt[3]{G M_T \left(\frac{T}{2 \pi} \right)^2} = \sqrt[3]{6,67 \times 10^-11 \; Nm^2/kg^2 \; 6 \times 10^24 \; kg \left(\frac{86400 s}{2 \pi} \right)^2} = 4,24 \times 10^7 \; m = 42298 \; km $

e percorrerla ad una velocità

$ v = \omega r = \frac{2 \pi}{T} r = \frac{2 \pi}{86400 \; s} \; 4,24 \times 10^7 \; m = 3076 \; m/s = 11073 \; km/h $.