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Giocando con la Gravità

Treno a gravità

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Tunnelpng.png

Tunnel sotterraneo

Si immagini di creare una galleria lungo una linea che congiunga due qualunque punti della sfera terrestre. Un treno che scorre lungo i binari installati lungo questo tunnel, il cui moto non sia influenzato significativamente dall'attrito, può percorrere tutta la galleria sfruttando la sola azione della gravità. Ciò si deduce dal fatto che i punti della superficie terrestre sono equipotenziali e che la forza gravitazionale è conservativa.

Sia:

s =2 \alpha R  \Rightarrow \alpha = \frac{s}{2 R}

h = R \cos \alpha = R \cos \frac{s}{2 R}

l = 2 R \sin \alpha = 2 R \sin \frac{s}{2 R}

Un corpo che si trovi all'interno di una sfera cava è soggetta alla forza di gravità esercitata dalla massa del guscio della sfera. Si dimostra che tale azione ha risultante è nulla, per cui all'interno della Terra un oggetto è sottoposto alla gravità della massa sferica che si trova al di sotto. Supponendo la densità \rho della terra uniforme tale massa sarà M(r)=\rho \frac{4}{3} \pi r^3=
\frac{M_T}{ \frac{4}{3} \pi R_T^2} \frac{4}{3} \pi r^3=
M_T \frac{r^3}{R_T^3}.

Il modulo della forza esercitata dal corpo sarà quindi:

F = G \frac{M(r) m}{r^2}= G \frac{M_T m}{R_T^3} r La componete verticale è annullata dalla reazione vincolare (il binario che sostiene il treno), mentre quella orizzontale sarà:

F_x=- G \frac{M_T m}{R_T^3} r \sin \theta=- G \frac{M_T m}{R_T^3} x.

L'equazione del moto si può scrivere quindi:

\ddot{x} + G \frac{M_T}{R_T^3}=0

che rappresenta un moto armonico di periodo T=2 \pi \sqrt{\frac{R_T^3}{G M_T}}.

L'equazione oraria del moto avrà la forma:

x=A \sin \left( \omega t+b\right)

Con A e b costanti dipendenti dalle condizioni iniziali, mentre \omega si ricava derivando più volte l'equazione del moto:

\dot{x}= \omega A \cos \left( \omega t + b \right)

\ddot{x}=- \omega ^2 A \sin \left( \omega t + b \right) \rightarrow \ddot{x}=- \omega^2 x \rightarrow \omega^2=G \frac{M_T}{R_T^3}

Imponendo le condizioni iniziali:

x(0)=-\frac{l}{2}
\dot{x}(0)=0
\rightarrow
A \sin b =-\frac{l}{2}
\omega A \cos b =0
\rightarrow
A=-\frac{l}{2}
B=\frac{\pi}{2}
\rightarrow
A=-R_T \sin\frac{s}{2 R_T}
B=\frac{\pi}{2}

Per cui:

x=-R_T \sin\frac{s}{2 R_T} \sin \left( \sqrt{G\frac{M_T}{R^3}}+\frac{\pi}{2}\right)=-R_T \sin\frac{s}{2 R_T} \cos \left(\sqrt{G\frac{M_T}{R^3}} t \right)

Il tempo di percorrenza della galleria è dato da:

\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}=\sqrt{\frac{R_T^3}{G\; M_T}}\; \pi

Tale valore dipende quindi solo dalla massa e dal cubo del raggio del pianeta o, in altri termini dalla sua densità e non dalla distanza tra i capi del tunnel.

In particolare, per la Terra, un qualunque tunnel siffatto sarà percorso in un tempo indipendente dalla distanza dei due punti e sarà:

\frac{T}{2}=\sqrt{\frac{R_T^3}{G\; M_T}}\; \pi = \sqrt{\frac{(6,37\times10^6 m)^3}{6,67\times10^-11 \frac{N m^2}{kg^2}\; 6\times10^24 kg}}\; \pi = 2524 s = 42\; min\; 04\; sec

Il treno a gravità è quindi in grado di congiungere due qualunque punti della terra in poco più di 42 minuti.

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