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Giocando con la Gravità

Viaggio verso Marte e Ritorno

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Sia Marte che la Terra orbitano attorno al Sole seguendo le tre Leggi di Keplero. Si muovono quindi lungo orbite ellittiche (1a Legge di Keplero) il cui semiasse è rispettivamente a_M e a_T. Nel seguito approssimeremo tali orbite con circonferenze. Per la 3a Legge di Keplero i periodi di rivoluzione saranno tali che: \frac{T_T^2}{a_T^3}=\frac{T_M^2}{a_M^3}=k

con k una costante valida per tutti i corpi orbitanti intorno al Sole. Poiché T_T = 1\; anno = 365,35\; giorni e T_M=686,98\; giorni= 1,881\; anni abbiamo che:a_M^3=\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2 a_T^3 \rightarrow a_M=\sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} a_T = \sqrt[3]{1,881^2}\; U.A.= 1,52\; U.A.

Una navicella lanciata dalla Terra verso Marte seguirà anch'essa un'orbita ellittica in cui il Sole occupa uno dei fuochi.

Scegliamo l'ellisse in modo che il perielio passi per l'orbita della Terra e l'afelio per l'orbita di Marte.
Dalla Terra a Marte.svg

Orbita di andata dalla Terra a Marte

Il suo semiasse sarà quindi: a=\frac{a_T + a_M}{2}=\frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right) a_T = 1,26\; U.A.


Anche per la navicella vale la 3a Legge di Keplero, il periodo T della sua orbita e il semiasse a saranno tali che: \frac{T_2}{a^3}=\frac{T_T^2}{a_T^3} \rightarrow T^2=\frac{a^3}{a_T^3} T_T^2 = \frac{1}{8} \left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right)^3 T_T^2\; \rightarrow \rightarrow T=\frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right)^3} T_T = 1,42\; anni.


Il viaggio di andata durerà quindi: \frac{T}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8} \sqrt{\left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right)^3} T_T = 0,71\; anni = 258,88\; giorni.


Al momento del lancio la Terra si troverà nel perielio dell'orbita della navicella; il lancio dovrà essere effettuato nel momento giusto, di modo che quando la navicella raggiunge l'afelio vi trovi il pianeta Marte. Avendo supposto il moto dei pianeti circolare, come conseguenza della 2a Legge di Keplero, esso sarà circolare uniforme, per cui Marte, nel periodo \frac{T}{2} percorrerà un angolo \alpha tale che: \frac{T_M}{2 \pi}=\frac{T/2}{\alpha} \rightarrow \alpha = \frac{T}{T_M} \pi = \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right)^3} \frac{T_T}{T_M} \pi = 0,75\; \pi = 135^\circ 38^{\prime} 59^{\prime\prime}.


Il momento giusto per l'inizio del viaggio sarà quando tra i due pianeti c'è un angolo \pi - \alpha = 0,25\; \pi = 44^\circ 21^{\prime} 01^{\prime\prime}, misurato nel verso del moto della Terra. Il momento in cui far iniziare il viaggio di ritorno va valutato altrettanto correttamente, altrimenti la navicella rischia di non incontrare la Terra e sarà costretta a orbitare per sempre intorno al Sole. Nell'intervallo di tempo T/2, il tempo necessario anche per il ritorno, il nostro pianeta percorre un angolo \beta tale che \frac{T_T}{2 \pi}=\frac{T/2}{\beta} \rightarrow \beta = \frac{T}{T_T} \pi = \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right)^3} \pi = 1,42\; \pi = 255^\circ 09^\prime 26^{\prime\prime}

Il viaggio di ritorno dovrà cominciare quando tra la Terra e Marte vi è un angolo \beta - \pi = 0,42\; \pi = 75^\circ 09^\prime 26^{\prime\prime}

nel verso del moto della Terra.

Quindi una volta arrivata su Marte la navicella dovrà aspettare le condizioni favorevoli per il ritorno.
Da Marte alla Terra.svg

Orbita di ritorno da Marte alla Terra

La velocità angolare relativa della Terra rispetto a Marte è data da \omega = \frac{2 \pi}{T_T} - \frac{2 \pi}{T_M} = 2 \pi \left( \frac{1}{T_T} - \frac{1}{T_M} \right) = 0,94\; \frac{\pi}{anni}.

L'equazione del moto della Terra rispetto a Marte è \theta = \theta_0 + \omega t ponendo \theta_0 = \pi - \alpha, cioè la configurazione presente al momento della navicella dalla Terra e \theta=\beta + \pi, la configurazione che si deve verificare per il ritorno sulla Terra, si ha: \beta + \pi + 2 k \pi = \pi - \alpha + \omega t, k \in \mathbb{Z} \rightarrow t = \frac{\alpha + \beta +2 k \pi}{\omega} = \frac{\alpha + \beta +2 k \pi}{2 \pi} \, \frac{T_T T_M}{T_M - T_T}, k \in \mathbb{Z}


La quantità \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{T_T T_M}{T_M - T_T}=2,14\; anni rappresenta il tempo che deve trascorrere affinché una qualunque configurazione si ripeta.

Quindi: 
t=\left\{\begin{matrix} 
0,74\; anni\; per\; k=0 \\ 
2,87\; anni\; per\; k=1 \\
... \\
0,74+n\; 1,24\; anni\; per\; k=n \\
\end{matrix} \right.


ciò significa che una volta arrivati su Marte, dopo circa 259 giorni, il ritorno deve cominciare 2,32 anni dopo la partenza dalla Terra, e quindi si dovrà sostare sulla superficie di Marte 1,61 anni; circa 587 giorni, cioè più di un anno e mezzo, e se si mancasse il momento giusto si dovrebbe rimanere su Marte per altri 2,14 anni. In totale il viaggio di andata e ritorno, comprensivo della sosta su Marte durerà 3,03 anni.

L'orbita della navicella è una ellisse il cui semiasse maggiore a = \frac{a_T + a_M}{2} = \frac{1}{2}\left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right) a_T = 1,26\; U.A.


, mentre il parametro 
c= \frac{a_M-a_T}{2}=\frac{1}{2} \left( \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2 - 1 } \right) a_T = 0,26\; U.A.


Per cui il semiasse minore sarà: 
b^2 = a^2-c^2 = \frac{1}{4} \left(a_T + a_M \right)^2 - \frac{1}{4}\left(a_T - a_M \right)^2 = \frac{1}{4} \left(a_T^2 + a_M^2 + 2 a_M a_T - a_M^2 - a_T^2 +2 a_M a_T \right) = a_M a_T 
, per cui b=\sqrt{a_M a_T} = \sqrt[3]{\frac{T_M}{T_T}} a_T = 1,23\; U.A..

L'area dell'ellisse è data da: A = a b \pi = \frac{a_T + a_M}{2} \sqrt{a_M a_T} \pi = \frac{1}{2}\left( 1 + \sqrt[3]{\left(\frac{T_M}{T_T}\right)^2} \right) \sqrt[3]{\frac{T_M}{T_T}} a_T^2 \pi=4,89\; U.A.^2



La velocità areale, per la 2a Legge di Keplero, è costante ed è pari a:

\frac{d A}{d t}=\frac{A}{T}=\frac{4,89\; U.A.^2}{1,42\; anni}=3,45\; U.A.

Al perielio, alla partenza dalla Terra: d A = \frac{a_T d s}{2}, per cui:

\frac{d A}{d t}=\frac{a_T\;v_p}{2} \rightarrow v_p=\frac{2}{a_T}\frac{d A}{d t}=\frac{2 A}{a_T T}=6,9\; \frac{U.A.}{anni} = 32,76\; \frac{km}{s}


dove v_p è la velocità della navicella al suo perielio, mentre all'afelio, in prossimità di Marte la velocità v_a sarà tale che:

\frac{dA}{dt}=\frac{a_M\;v_a}{2} \rightarrow v_a=\frac{2}{a_M}\frac{d A}{d t}=\frac{2 A}{a_M T}=4,53\; \frac{U.A.}{anni} = 21,48\; \frac{km}{s}


Avendo supposto i moti della Terra e di Marte circolari, il loro moto sarà circolare uniforme e le loro rispettive velocità saranno:

v_T=\frac{2 \pi a_T}{T_T}= 6,28\; \frac{U.A.}{anni}=29,79\; \frac{km}{s}

v_M=\frac{2 \pi a_M}{T_M}= 5,09\; \frac{U.A.}{anni}=24,13\; \frac{km}{s}


La navicella, lanciata dalla Terra può essere messa in un primo momento su un'orbita circolare intorno alla Terra, per poi essere accelerata fino alla velocità di fuga nel momento in cui la velocità orbitale della Terra intorno al Sole e quella della navicella sono paralleli e concordi, in modo che le due velocità si sommino. La navicella viene accelerata fino a raggiungere la velocità di fuga v_f; vogliamo che la velocità finale rispetto al Sole sia v_p, cioè la velocità al perielio: v_p=v_T+v_f \rightarrow v_f=v_p - v_T = 0,62\; \frac{U.A.}{anni}=2,945\; \frac{km}{s}

Partenza dalla Terra.svg

Posizionamento sull'orbita di lancio dalla Terra

Dal momento che v_f=\sqrt{2 G \frac{M_T}{r_f}} , dove r_f è il raggio dell'orbita su cui deve essere posizionata la navicella prima dell'accelerazione:

r_f=2 G \frac{M_T}{v_f^2}=91985,28\; km

Accelerando la navicella fino alla velocità di fuga v_f, essa si sgancerà dall'orbita della Terra per entrare su un'orbita solare ellittica e, come abbiamo visto, raggiungerà Marte dopo 0,71 anni, quando si troverà all'afelio della sua orbita; sarà catturata dall'attrazione gravitazionale del pianeta. La velocità relativa della navicella rispetto a Marte sarà in quel puntov_0 = v_M-v_a=0,56\; \frac{U.A.}{anni} = 2,649\; \frac{km}{s}. Con questa velocità la navicella si può porre su un'orbita circolare con verso di rotazione contrario a quello di Marte rispetto al Sole, con un raggio r_0, e poiché \frac{v_0}{r_0}=G\; \frac{M_M}{v_a}

si ha: r_0=G\; \frac{M_M}{v_0^2}=6102,22\; km


Dalla navicella potrà essere fatta calare una sonda con eventuali esploratori umani che, come abbiamo già detto, dovranno rimanere 1,61 anni sul suolo marziano, cioè poco più di un anno e sette mesi, prima di trovare le condizioni favorevoli per il ritorno sulla Terra. Passato questo periodo la sonda dovrà decollare per riunirsi alla navicella rimasta in orbita, dopodiché la navicella dovrà lasciare l'orbita di stazionamento r_0 per posizionarsi ad una distanza tale che la velocità di fuga sia: v_f=v_M - v_a = 0,56\; \frac{U.A.}{anni}=2,649\; \frac{km}{s}.

Arrivo su Marte.svg

La navicella catturata dalla gravità di Marte

D'altra parte v_f=\sqrt{2 G \frac{M_M}{r_f}} \rightarrow r_f = 2G\; \frac{M_M}{v_f}=12204,45\; km


Accelerando fino a questa velocità la navicella si sgancerà dall'orbita di Marte per tornare su un'orbita solare ellittica, raggiungendo la Terra dopo 0,71 anni. Quando, al perielio della sua orbita raggiungerà la Terra avrà una velocità v_p=6,9\; \frac{U.A.}{anni}=32,73\; \frac{km}{s}, mentre la Terra viaggia ad una velocità Terra v_T=29,79\; \frac{km}{s}. La loro velocità relativa è quindi v_0=v_p - v_T = 0,62\; \frac{U.A.}{anni} = 2,945\; \frac{km}{s}, che permette alla navicella, catturata dalla gravità della Terra, di posizionarsi su un'orbita circolare di raggio r_0=G\; \frac{M_T}{v_0^2}=45992,64\; km, prima di scendere sulla Terra.

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